保存重言性

保存重言性
术语名称	保存重言性
英语名称	tautology-preserving
别名	保存有效性, validity-preserving

保存重言性(tautology-preserving)指一个推理规则，应用于重言式/有效式时只能得到重言式或有效式。表示一个推理规则中两个公式的可演绎关系保证每个模型上的满足关系。

定义

对一个推理规则、谓词语言及该语言的一个模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{I} }[/math] ，对 [math]\displaystyle{ \mathfrak{I}\vDash\phi }[/math] 任意公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ，即对该模型上任意赋值 [math]\displaystyle{ \sigma = (\mathfrak{I}, A) }[/math] 均有 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi }[/math] ，将给定规则应用于这一公式得到公式 [math]\displaystyle{ \psi }[/math] 后，仍然有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{I}\vDash\psi }[/math] ，则称这一推理规则为保存重言性(tautology-preserving)的/保存有效性(validity-preserving)的。

注：一般来说，命题逻辑的重言式用保存重言性，谓词逻辑的有效式用保存有效性。进行同一研究时经常不区分。

性质

• 只有模型上的重言或有效被保证，不保证局部赋值的满足。即对于不满足的模型下的部分赋值不做要求，若 [math]\displaystyle{ \mathfrac{I}\nvDash\phi }[/math] ，哪怕有某个其上的赋值满足 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\psi }[/math] ，也不要求其满足 [math]\displaystyle{ \sigma\nvDash\psi }[/math] 。

意义

保存重言性描述语法上的变形规则，在语义上对应的性质。一个规则保存真实性说明了对这一规则形式下的可演绎关系 [math]\displaystyle{ \phi\vdash\psi }[/math] ，保证在同一模型下语义上还是有效式。

证明论
形式化公理系统（形式化、公理化）
推理系统	Hilbert 风格/公理系统：Hilbert 表示
	Gentzen 风格-自然演绎系统： Gentzen 式自然演绎、 Fitch 式自然演绎、 Suppes–Lemmon 式自然演绎
	Gentzen 风格-相继式演算： Gentzen 式相继式演算
证明、演绎	演绎、可演绎、证明、可证明
命题、定理	公理/公理模式、定理、元定理、变形规则
推理规则性质	保存真实性、保存重言性
公理系统性质	可靠性、完备性/完全性、一致性、独立性