序型

序型
术语名称	序型
英语名称	order type

序型(order type)是对序的抽象刻画。对偏序及更强的序，称序同构的两个有序集具有相同的序型。

由于良序集的序型与序数一一对应，一般多研究良序集的序型。

定义

对两个偏序集 [math]\displaystyle{ (P,\preceq_P) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (Q,\preceq_Q) }[/math] ，若存在序同构 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] （即保持序关系地将一个集合元素一一对应到另一个集合上），则称偏序集 [math]\displaystyle{ (P,\preceq_P) }[/math] 与 [math]\displaystyle{ (Q,\preceq_Q) }[/math] 具有相同的序型(have the same order type)。或称所有序同构的有序集构成的等价类为一个序型。

良序集的序型与序数一一对应，也称对应的序数为这一良序集的序型。特别地，在 von Neumann 序数构造下，良序集 [math]\displaystyle{ (n, \in_n) }[/math] 的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 是 von Neumann 序数，称 [math]\displaystyle{ n }[/math] 为 [math]\displaystyle{ (n, \in_n) }[/math] 的序型。

性质

• 序型是序同构中的不变量，两个有序集有相同序型当且仅当它们序同构。可以认为序型是有序集结构的抽象，忽略具体元素。
• 良序集的序型有特别良好的性质：
  • 每个良序集都唯一对应一个序数，称为该良序集的序型；
  • 在 von Neumann 序数定义下，序数本身就是具有该序型的良序集；
  • 良序定理断言每个集合都可以良序化，因此每个集合基数都对应多个序型。

经典序型例子

• 有限序型
  • [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ：空集的序型。
  • [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ：单元素集的序型。
  • [math]\displaystyle{ n }[/math] ： n 个元素的全序集的序型。
• 可数无限序型
  • [math]\displaystyle{ \omega }[/math] ：自然数集(0,1,2,3,...)的序型。
  • [math]\displaystyle{ ^* \omega }[/math] ：负整数集(...,-3,-2,-1)的序型。
  • [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] ：整数集(...,-2,-1,0,1,2,...)的序型。
  • [math]\displaystyle{ \eta }[/math] ：有理数集的序型。
• 不可数序型
  • [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ：实数集的序型。
  • [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] ：最小不可数序数对应的序型。

序型运算

对偶

设 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 是一个序型， [math]\displaystyle{ ^* \alpha }[/math] 定义为其对偶序的序型。

加法

设α和β是两个序型，α+β定义为将β类型的集合接在α类型的集合之后。

性质：

• 不满足交换律：1+ω = ω ≠ ω+1
• 满足结合律：(α+β)+γ = α+(β+γ)

乘法

设α和β是两个序型，α·β定义为按反词典序排列的α×β。

性质：

• 不满足交换律：2·ω = ω ≠ ω·2
• 满足左分配律：α·(β+γ) = α·β+α·γ
• 不满足右分配律