对偶（序理论）

对偶
术语名称	对偶
英语名称	dual

对偶性
术语名称	对偶性
英语名称	duality

对偶(dual)一词泛指成对出现结构相同的数学结构，在序关系中指与逆关系相关的概念。

在偏序及更严格的序中，逆关系与原关系有类似的结构。比如，在无视具体元素只考虑结构的前提下，“整数上的小于” [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}, \lt ) }[/math] 和“整数上的大于” [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}, \gt ) }[/math] 可以通过“整数的相反数”这一双射互相转换，说明这两个序是同一结构（序同构）。这种结构上的一致性说明了一些成对出现、形式上看似对立的概念在结构上有相同本质（如最大值、最小值），概念间的这种关系统称为“对偶”。

本文中，将“偏序或更严格的序”关系统称“序关系”，将偏序集、全序集等有这种“序关系”的集合称为“有序集”。

定义

在序理论中，以下几种情况统称为对偶性(duality)。

对偶关系

对偶关系
术语名称	对偶关系
英语名称	dual relation
别名	对偶序, dual order

}} 对序关系 [math]\displaystyle{ R }[/math]，记关系 [math]\displaystyle{ R^\mathrm{op} }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ a R^\mathrm{op} b \leftrightarrow b R a }[/math] ，称为关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的对偶关系(dual relation)或对偶序(dual order)。原关系与其对偶关系互为对偶关系、互为对偶序。

注：这一定义与逆关系一致，但“对偶”一词和记号 [math]\displaystyle{ ^\mathrm{op} }[/math]一般只用于偏序及其特例，一般的关系中只能叫做“逆关系” [math]\displaystyle{ ^{-1} }[/math] 。

对偶序结构

对有序集 [math]\displaystyle{ (P, R) }[/math] ，记有序集 [math]\displaystyle{ (P, R^\mathrm{op}) }[/math] ，称为原有序集 [math]\displaystyle{ (P, R) }[/math] 的对偶结构。原关系与其对偶关系互为对偶结构。

对偶概念

序理论中部分概念成对出现，且在任意结构中符合其中一个概念的数学对象，在其对偶结构中会符合另一个概念，这种情况称两个概念互为对偶概念。

对偶命题

对一个仅涉及序结构（不关注具体元素、集合本身）的命题，将这个序及命题中与该序结构相关的结构概念全部替换为对偶序及对偶概念，得到的命题称为对偶命题。也说两个命题互为对偶命题。

注：对偶中忽略具体元素只看序本身的结构。如果涉及具体元素、具体集合这些没有通过对偶改变方向的内容，可能无法将原命题变成方向相反的命题，这时一般不视为对偶。

性质

[math]\displaystyle{ (R^\mathrm{op})^\mathrm{op} = R }[/math]
对偶保持部分序关系的特点
- 如果 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 是偏序，则 [math]\displaystyle{ \preceq^{op} }[/math] 也是偏序。
- 如果 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 是全序，则 [math]\displaystyle{ \preceq^{op} }[/math] 也是全序。
- 良序不一定保持。良基关系要求的是有极小元，在对偶序中会变成有极大元，此时无法保证极小元。对这种一定存在极大元的关系没有标准名称，一般只说其对偶是良基关系。
对偶概念举例

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全