良序

良序
术语名称	良序
英语名称	well-order
别名	well order

良序集
术语名称	良序集
英语名称	well-ordered set

良序(well order)，指集合上的一个二元关系，是良基的全序。元素间存在良序关系的集合称为良序集(well-ordered set)。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] ，如果是一个全序、且有良基性，即满足：

自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (a \leq a) }[/math]
传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \leq b \land b \leq c \rightarrow a \leq c) }[/math]
反对称性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \leq b \land b \leq a \rightarrow a = b) }[/math]
完全性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \leq b \lor b \leq a) }[/math]
良基性： [math]\displaystyle{ \forall U \subseteq P (\exists a \in U)(\forall u \in U)(u \neq a \rightarrow \lnot(u \leq a)) }[/math]

称关系 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] 为一个良序(well-order)。并称带有良序关系 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] 的集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为良序集(well-ordered set)。

注：全序集上存在时极小元就是最小元，因此全序集上的良基性也被表达为 [math]\displaystyle{ \forall U \subseteq P (\exists a \in U)(\forall u \in U)(a \leq u)) }[/math] 。

性质

基本特征
- 良序是自反、反对称、传递、完全且良基的二元关系；
- 良序集的每个非空子集都有唯一最小元；
- 良序关系不允许无穷下降链。
序结构性质
- 良序集的每个子集也是良序集（继承序关系）。
运算性质
- 良序的交不一定是良序；
- 良序的并不一定是良序；
良序集中的特殊元素
- 全序集中极大元、极小元和最大元、最小元等价。
- 良序集中最小元总是存在且唯一；最大元不一定存在，若存在也唯一。
- 每个元素（除了最大元，如果存在）都有唯一后继元，也是大于该元素的全部元素构成的子集中的最小元。

关联

良序是良基的全序。
- 有限全序集都是良序集。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全