中心（群）

中心
术语名称	中心
英语名称	center

一个群的中心(center)指群中与任意元素都可交换的元素构成的集合。

定义

对群 [math]\displaystyle{ \langle G, \cdot \rangle }[/math] ，定义与全体元素均可交换的元素所构成的集合 [math]\displaystyle{ \left\{g\in G \mid (\forall g' \in G) (gg' = g'g) \right\} }[/math] ，称为群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的中心(center)，记作 [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math] 。

群中心的元素称为群的中心元素(central element)，也说这些元素在群中心(is central in the group)。

如果群中心只有幺元（或者说群中心是平凡的/是平凡群），称群是无中心的(centerless)。

性质

群幺元必然在群的中心。

群是交换群，当且仅当，群的中心是群自身。

群的中心是一个子群，且是正规子群。

群对其中心的商群同构于其内自同构群。这个商群是循环群时，群本身必然是交换群，商群必然是平凡群。

基础群论初步
群、群公理	交换群、交换群公理	重排定理
子群 [math]\displaystyle{ \leq }[/math]	陪集、陪集定理	Lagrange 定理
正规子群、不变子群 [math]\displaystyle{ \unlhd }[/math]	共轭、共轭关系、共轭类
	同余关系、同余类	商群
同态与同构
同态	同态核、同态像
单同态、满同态	同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math]
第一同构定理	第二同构定理	第三同构定理
群作用与变换群
群作用	左乘作用、共轭作用
忠实、自由		Cayley 定理
轨道	稳定子群	轨道-稳定子群定理
不动点		Burnside 引理