稳定子群
| 稳定化子 | |
|---|---|
| 术语名称 | 稳定化子 |
| 英语名称 | stabilizer |
| 别名 | 稳定子, 稳定化子群, 稳定子群, stabilizer subgroup, 迷向子群, isotropy subgroup |
稳定(化)子(stabilizer)指群作用对集合进行变换时，将某元素留在原位的群元素构成的集合。 因为一定是子群，也称为稳定(化)子群(stabilizer subgroup)。
在通过变换前后位置差表示方向的集合中，由于这些群元素使得这个集合元素没有“被变换到某个方向”，也被称为在这个元素处的迷向子群(isotropy subgroup)。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 在集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的群作用，以及集合中的元素 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] ，记集合 [math]\displaystyle{ \{g\in G \mid g a = a\} }[/math] ，则这一集合是群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的子群，称为群作用 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 下关于 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的稳定化子(stabilizer)/稳定化子群(stabilizer subgroup of [math]\displaystyle{ G }[/math] w.r.t. [math]\displaystyle{ x }[/math] )，记作 [math]\displaystyle{ \mathrm{Stab}_G(x) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ G_x }[/math] 。
性质
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 在集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的群作用，以及群元素 [math]\displaystyle{ g \in G }[/math] 及集合元素 [math]\displaystyle{ a \in X }[/math] ，在群作用中被作用到 [math]\displaystyle{ b = g\cdot a \in X }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ \mathrm{Stab}_G(b) = g \mathrm{Stab}_G(a) g^{-1} }[/math] 。