共轭
| 共轭 | |
|---|---|
| 术语名称 | 共轭 |
| 英语名称 | conjugacy |
| 共轭 | |
|---|---|
| 术语名称 | 共轭 |
| 英语名称 | conjugate |
| 共轭类 | |
|---|---|
| 术语名称 | 共轭类 |
| 英语名称 | conjugacy class |
共轭(conjugacy)（关系）指群中两个元素可通过一对互逆元素运算得到，也称两个元素互为对方的共轭(conjugate)。 共轭关系是一种等价关系，对应的等价类称为共轭类(conjugacy class)。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及元素 [math]\displaystyle{ a,b \in G }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\exists g \in G)(b = g a g^{-1}) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是元素 [math]\displaystyle{ b }[/math] 关于 [math]\displaystyle{ g }[/math] 的一个共轭( [math]\displaystyle{ a }[/math] is a conjugate of [math]\displaystyle{ b }[/math] )，也称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和元素 [math]\displaystyle{ b }[/math] 互为共轭( [math]\displaystyle{ a }[/math] and [math]\displaystyle{ b }[/math] are conjugate)。这一关系称为共轭关系(conjugacy relation)，是一个等价关系。
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 及元素 <mth>a \in G</math> ，共轭关系的等价类 [math]\displaystyle{ \{g a g^{-1} \mid g\in G \} }[/math] 称为以元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 为代表元的共轭类(conjugacy class)。
注：也有时定义为 [math]\displaystyle{ b = g^{-1} a g }[/math] ，就是 [math]\displaystyle{ a = g b g^{-1} }[/math] ，因此不会有任何影响。
性质
共轭元素有相等的阶，即 [math]\displaystyle{ |a| = |g a g^{-1}| }[/math] 。