完备性定理

完备性定理
术语名称	完备性定理
英语名称	completeness theorem

一个形式化公理系统中描述完备性的元定理称为完备性定理(completeness theorem)。即系统需要一个定理证明其中任意前提所逻辑蕴涵（若为命题逻辑，则为重言蕴涵）的结论都是从这些前提可演绎出的。 完备性定理是一个推理系统追求的目标，一切语义有效的结论都可以在这个系统中证明出来。

定义

对形式化公理系统 [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] ，以下元定理称为其完备性定理(completeness theorem)：给定其中任意前提 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] 和结论 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \Gamma \vDash \phi }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ \Gamma \vdash \phi }[/math] 。特别地，对 [math]\displaystyle{ \vDash\phi }[/math] 的情况有 [math]\displaystyle{ \vdash\phi }[/math] 。

地位

对于任意推理系统，构造的目标都是可靠性定理，我们希望任意想要证明的真理都可以通过推理系统以机械的方式完成。

证明论
经典话题	Gödel 完备性定理、 Hilbert 纲领、 Gödel 不完备定理、相对一致性
结构化证明	推理系统 形式化公理系统 （形式化、公理化）	Hilbert 风格/公理系统（在无前提的定理间推理）： Hilbert 表示
		Gentzen 风格-自然演绎系统（在有前提、有假设的结论间推理）： Gentzen 式自然演绎、 Fitch 式自然演绎、 Suppes–Lemmon 式自然演绎
		Gentzen 风格-相继式演算（在描述可演绎关系的元定理间推理）： Gentzen 式相继式演算
	证明、演绎	演绎、可演绎、证明、可证明
	命题、定理	命题、元命题、公理/公理模式、定理、元定理
	推理规则性质描述	保存真实性、保存重言性
	推理系统性质描述	可靠性、完备性/完全性、一致性、独立性
	重要元定理	演绎定理、切消定理（切割消除定理）
		（某种推理系统的）可靠性定理、完备性定理
序数分析	证明论序数
构造性证明 程序化证明	Curry–Howard 对应
	证明复杂度