重言蕴涵
| 重言蕴涵 | |
|---|---|
| 术语名称 | 重言蕴涵 |
| 英语名称 | tautological implication |
| 别名 | 逻辑蕴涵, logical implication |
| 重言后承 | |
|---|---|
| 术语名称 | 重言后承 |
| 英语名称 | tautological consequence |
重言蕴涵(tautological implication)指两个命题公式在任意指派下，若第一个为真则另一个必为真的关系。 或者说若第一个被满足则第二个被满足的关系。
重言蕴涵是逻辑蕴涵在命题逻辑中的简化形式，故有时也称为逻辑蕴涵。
形式语言层级上，重言蕴涵涉及对命题真假的判断，是元语言中的谓词，连接两个对象命题公式；与属于对象语言的蕴涵逻辑联结词不同。
定义
| 重言蕴涵 | |
|---|---|
| 关系名称 | 重言蕴涵 |
| 关系符号 | [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math],[math]\displaystyle{ \vDash }[/math] |
| Latex | \Rightarrow, \vDash
|
| 关系对象 | 命题公式 |
| 关系元数 | 2 |
| 类型 | 预序 |
对两个命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，其中成员命题变元均为 [math]\displaystyle{ P_1,P_2,\dots,P_n }[/math] ，则两命题公式存在 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个不同指派。 若这 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个指派下，公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 为真时 [math]\displaystyle{ B }[/math] 也为真，或者说若 [math]\displaystyle{ \sigma \vDash A }[/math] 则 [math]\displaystyle{ \sigma \vDash B }[/math] ，则称命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 重言蕴涵(logically imply/tautologically imply)公式 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] 。也记作 [math]\displaystyle{ A \vDash B }[/math] 。此时，也称 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为 [math]\displaystyle{ P }[/math] 的重言后件或重言后承(tautological consequence)。
这一定义也推广为左侧是命题集合的情况，记作 [math]\displaystyle{ A_1, \dots, A_n \Rightarrow B }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \Gamma \vDash_0 B }[/math] 。其中记号 [math]\displaystyle{ \vDash_0 }[/math] 的下标指在 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 中全体指派中可推出。
性质
- 命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 重言蕴涵 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，当且仅当条件命题 [math]\displaystyle{ A \rightarrow B }[/math] 为永真式。
- 两命题公式等值（重言等价），当且仅当两命题公式互相重言蕴涵。
- 等值关系符合以下性质：
- 自反性：对任意公式[math]\displaystyle{ A }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow A }[/math] ；
- 传递性：若 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] 且 [math]\displaystyle{ B \Rightarrow C }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow C }[/math] 。
常见重言蕴涵关系
单独分类：分类:命题逻辑常见结论
在自然演绎系统中，重言蕴涵对应着形式上能否形式推导，推理规则对应特定的重言蕴涵关系。