直言命题的直接推理
| 直接推理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 直接推理 |
| 英语名称 | |
直言命题是古典逻辑中对命题的一个分类，有形式“所有/有的/这个 S （不）具有性质 P ”，在其上直接通过变形得到其他命题的推理方式统称为直言命题的直接推理。
需要注意的是，直言命题是古典逻辑学的一个分类，在哲学下的逻辑学仍在使用，但它不是一个数理逻辑中的常用分类方式。
对当关系推理
反对推理/上反对推理
反对关系/上反对关系(contrary)指 SaP （所有 S 都是 P）和 SeP （所有 S 都不是 P）之间的关系，只能同假不能同真，若已知其中一个为真，可以推出另一个为假。
[math]\displaystyle{ \begin{aligned} S\mathrm{a}P &\Rightarrow \lnot S\mathrm{e}P \\ S\mathrm{e}P &\Rightarrow \lnot S\mathrm{a}P \end{aligned} }[/math]
下反对推理
下反对关系(subcontrary)指 SiP （有的 S 是 P）和 SoP （有的 S 不是 P）之间的关系，只能同真不能同假。若已知其中一个为假，可以推出另一个为真。
[math]\displaystyle{ \begin{aligned} \lnot S\mathrm{i}P &\Rightarrow S\mathrm{o}P \\ \lnot S\mathrm{o}P &\Rightarrow S\mathrm{i}P \end{aligned} }[/math]
矛盾推理
矛盾关系(contradictory)指 A （所有 S 都是 P）和 O （有的 S 不是 P）、 E （所有 S 都不是 P）和 I （有的 S 是 P）之间的关系，一定真假相反。这两对命题中已知任何一个的真假都能推出另一个的真假。
[math]\displaystyle{ \begin{aligned} S\mathrm{a}P &\Leftrightarrow \lnot S\mathrm{o}P \\ S\mathrm{e}P &\Leftrightarrow \lnot S\mathrm{i}P \\ S\mathrm{i}P &\Leftrightarrow \lnot S\mathrm{e}P \\ S\mathrm{o}P &\Leftrightarrow \lnot S\mathrm{a}P \\ \end{aligned} }[/math]
差等推理
差等关系(subaltern)指 A （所有 S 是 P）和 I （有的 S 是 P）、 E （所有 S 不是 P）和 O （有的 S 不是 P）之间的关系，若全称为真则特称必真，若特称为假则全称必假。
[math]\displaystyle{ \begin{aligned} S\mathrm{a}P &\Rightarrow S\mathrm{i}P \\ S\mathrm{e}P &\Rightarrow S\mathrm{o}P \\ \lnot S\mathrm{i}P &\Rightarrow \lnot S\mathrm{a}P \\ \lnot S\mathrm{o}P &\Rightarrow \lnot S\mathrm{e}P \\ \end{aligned} }[/math]
变形推理
换质推理
换质法(obversion)，或对一个命题换质(obvert)，指同时变更直言命题中的质和谓项，得到新的命题作为结论。 在这一过程中，谓项需要变为其相反的分类，即“非……”，古典逻辑中称为其负词项，如“三角形”的负词项是“非三角形”。 根据不同人的习惯，可能使用在原词项基础上加上上划线或撇号的方式表示。
比如 SaP “所有 S 是 P”使用换质法的结果就是 SeP' “所有 S 不是非 P”。
[math]\displaystyle{ \begin{aligned} S\mathrm{a}P &\Leftrightarrow S\mathrm{e}\bar{P} \\ S\mathrm{e}P &\Leftrightarrow S\mathrm{a}\bar{P} \\ S\mathrm{i}P &\Leftrightarrow S\mathrm{o}\bar{P} \\ S\mathrm{o}P &\Leftrightarrow S\mathrm{i}\bar{P} \\ \end{aligned} }[/math]
换位推理
直接换位推理
换位法(conversion)，或对一个命题换位(convert)，指交换直言命题中的主项和谓项，得到新的命题作为结论。 在这一过程中，要求原来不周延的词项在新的位置上也不周延，也就是说， A 和 O 由于主谓的周延性不同，无法换位。
[math]\displaystyle{ \begin{aligned} S\mathrm{e}P &\Rightarrow P\mathrm{e}S \\ S\mathrm{i}P &\Rightarrow P\mathrm{i}S \\ \end{aligned} }[/math]
也就是说，“所有 S 是 P”和“所有 P 是 S”、“有的 S 不是 P”和“有的 P 不是 S”之间是无法相互推出的；而“所有 S 不是 P”和“所有 P 不是 S”、“有的 S 是 P”和“有的 P 是 S”之间则是一致的，都是在描述是否存在既是 S 也是 P 的个体。
限量换位推理
限量换位(conversion per accidens)指尽管 A 命题无法进行换位法，还是可以在改变量词的基础上将其换位。有两种解释：
- 由于 SaP 可以单向推出 SiP ，而 SiP 可以换位为 PiS 。
- SaP 不能换位为 PaS 的原因是前提中谓项 P 不周延，而在结论中主项 P 周延，这潜在地引入了对 P 范围的刻画，因此需要将其全称“所有”改为特称“有的”以去除这一影响。
[math]\displaystyle{ \begin{aligned} S\mathrm{a}P &\Rightarrow P\mathrm{i}S \\ \end{aligned} }[/math]
类似操作也可以用于 E 命题，由 SeP 得到 PoS ，只是这一推理可以由 SeP 双推出 PeS 单推出 PoS 实现，一般不需要特殊考虑。
至于 O 命题无法进行直接换位，也无法进行限量换位。
换质位推理、换位质推理
由于换质和换位本身重复使用两次会导致回到原来的前提，只能交替使用。因此可以连续交替进行换质和换位推理。 由于推理到 O 命题就会结束，而在 A 命题处根据直接推出 I 命题还是换位 I 命题分支，可以从四类命题开始，得出全部相关推理。
其中先换质的称为换质位推理，先换位的称为换位质推理。
换质位推理：
[math]\displaystyle{ \begin{matrix} S\mathrm{a}P &\Rightarrow S\mathrm{e}\bar{P} &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{e}S &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{a}\bar{S} &\Rightarrow \bar{S}\mathrm{i}\bar{P} &\Rightarrow \bar{S}\mathrm{o}P \\ &&&&\Rightarrow \bar{P}\mathrm{i}\bar{S} &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{o}S \\ S\mathrm{e}P &\Rightarrow S\mathrm{a}\bar{P} &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{i}S &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{o}\bar{S} \\ &&\Rightarrow S\mathrm{i}\bar{P} &\Rightarrow S\mathrm{o}P \\ S\mathrm{i}P &\Rightarrow S\mathrm{o}\bar{P} \\ S\mathrm{o}P &\Rightarrow S\mathrm{i}\bar{P} &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{i}S &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{o}S \\ \end{matrix} }[/math]
换位质推理：
[math]\displaystyle{ \begin{matrix} S\mathrm{a}P &\Rightarrow P\mathrm{i}S &\Rightarrow P\mathrm{o}\bar{S} \\ &\Rightarrow S\mathrm{i}\bar{P} &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{o}\bar{S} \\ S\mathrm{e}P &\Rightarrow P\mathrm{e}S &\Rightarrow P\mathrm{a}\bar{S} &\Rightarrow \bar{S}\mathrm{i}P &\Rightarrow \bar{S}\mathrm{o}\bar{P} \\ &&&\Rightarrow P\mathrm{i}\bar{S} &\Rightarrow P\mathrm{o}S \\ S\mathrm{i}P &\Rightarrow P\mathrm{i}S &\Rightarrow P\mathrm{o}\bar{S} \\ S\mathrm{o}P \\ \end{matrix} }[/math]