自然映射

自然映射
术语名称	自然映射
英语名称	natural projection
别名	自然投影, 典范投影, 典范射影, canonical projection, canonical surjection

自然映射(natural projection)指当一个集合上定义了一个等价关系时，将集合中的元素对应到其所在的等价类的映射。

定义

自然映射
对象名称	自然映射
对象记号	[math]\displaystyle{ \pi }[/math],[math]\displaystyle{ \pi_\sim }[/math]
Latex	\pi, \pi_\sim
对象类别	映射

自然映射
函数名称	自然映射
函数符号	[math]\displaystyle{ \pi }[/math],[math]\displaystyle{ \pi_\sim }[/math]
运算参数
运算结果
Latex	\pi, \pi_\sim
类型	满射
定义域	[math]\displaystyle{ S }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ S/\sim }[/math]

对集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] ，其上有一个等价关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] ，则映射 [math]\displaystyle{ \pi: S \to S/\sim; a \mapsto [a] }[/math] 称为 [math]\displaystyle{ S }[/math] 关于 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] 的自然映射(natural projection)。

当需要指明等价关系时，也记作 [math]\displaystyle{ \pi_\sim }[/math]。

性质

• 自然映射与代表元的选取无关，是被集合和等价关系唯一确定的，因此称为“自然”的或“典范”的。
• 自然映射总是满射。

等价关系
等价	划分
结构	等价类、setoid、商集、自然映射

映射
定义属性	定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math] 、陪域、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]
特殊映射	空映射、常值映射、恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\bullet }[/math]、包含映射[math]\displaystyle{ \iota }[/math]
类型	单射、满射、双射
运算	复合[math]\displaystyle{ \circ }[/math]、迭代[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、逆映射（反函数）[math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math]、限制、延拓

琐事

术语使用

广义上，自然映射指从集合到其商结构上的自然的映射。

如果讨论更加复杂具体的结构时，若自然映射也满足，则保留“自然”前缀。如“自然同态”。有时“自然”一词也指可以类比于自然映射的其他数学对象。