等价关系

等价关系
术语名称	等价关系
英语名称	equivalence relation

setoid
术语名称	setoid
英语名称	setoid
别名	等价关系集

等价关系(equivalence relation)指集合上的一个二元关系同时满足自反性、对称性和传递性。元素间存在等价关系的集合称为 setoid ，其内部被等价关系划分为多个等价类。所有等价类构成的集合称为商集。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] ，如果同时满足自反性、对称性、传递性，即满足：

自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (a \sim a) }[/math]
对称性：[math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \sim b \rightarrow b \sim a) }[/math]
传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \sim b \land b \sim c \rightarrow a \sim c) }[/math]

称关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] 为一个等价关系(equivalence relation)。并称带有等价关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] 的集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为setoid。

关联

等价关系是对称的预序关系。

性质

等价关系的交仍然是等价关系。
等价关系根据是否是另一个等价关系的细化，存在格结构。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全

等价关系
等价	划分
结构	等价类、setoid、商集、自然映射