直接推理

直接推理
术语名称	直接推理
英语名称	immediate inference

直接推理(immediate inference)指古典逻辑中直接通过对命题变形得到其他命题的推理方式。默认指直言命题的直接推理。

需要注意：本节所有对当关系推理均基于古典逻辑的主项存在预设，即假定主项 S 所指代的类不是空类。存在否定或换位的情况下，会按照出现在主项的情况，要求主项 S 谓项 P 均不是空类或全类。在现代谓词逻辑中，差等关系、反对关系和下反对关系的推理可能无效。

对当关系推理

反对推理/上反对推理

反对关系/上反对关系(contrary)指 SaP （所有 S 都是 P）和 SeP （所有 S 都不是 P）之间的关系，只能同假不能同真，若已知其中一个为真，可以推出另一个为假。

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} S\mathrm{a}P &\Rightarrow \lnot S\mathrm{e}P \\ S\mathrm{e}P &\Rightarrow \lnot S\mathrm{a}P \end{aligned} }[/math]

下反对推理

下反对关系(subcontrary)指 SiP （有的 S 是 P）和 SoP （有的 S 不是 P）之间的关系，只能同真不能同假。若已知其中一个为假，可以推出另一个为真。

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} \lnot S\mathrm{i}P &\Rightarrow S\mathrm{o}P \\ \lnot S\mathrm{o}P &\Rightarrow S\mathrm{i}P \end{aligned} }[/math]

矛盾推理

矛盾关系(contradictory)指 A （所有 S 都是 P）和 O （有的 S 不是 P）、 E （所有 S 都不是 P）和 I （有的 S 是 P）之间的关系，一定真假相反。这两对命题中已知任何一个的真假都能推出另一个的真假。

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} S\mathrm{a}P &\Leftrightarrow \lnot S\mathrm{o}P \\ S\mathrm{e}P &\Leftrightarrow \lnot S\mathrm{i}P \\ S\mathrm{i}P &\Leftrightarrow \lnot S\mathrm{e}P \\ S\mathrm{o}P &\Leftrightarrow \lnot S\mathrm{a}P \\ \end{aligned} }[/math]

差等推理

差等关系(subaltern)指 A （所有 S 是 P）和 I （有的 S 是 P）、 E （所有 S 不是 P）和 O （有的 S 不是 P）之间的关系，若全称为真则特称必真，若特称为假则全称必假。

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} S\mathrm{a}P &\Rightarrow S\mathrm{i}P \\ S\mathrm{e}P &\Rightarrow S\mathrm{o}P \\ \lnot S\mathrm{i}P &\Rightarrow \lnot S\mathrm{a}P \\ \lnot S\mathrm{o}P &\Rightarrow \lnot S\mathrm{e}P \\ \end{aligned} }[/math]

变形推理

换质推理

换质法(obversion)，或对一个命题换质(obvert)，指同时变更直言命题中的质和谓项，得到新的命题作为结论。 在这一过程中，谓项需要变为其相反的分类，即“非……”，古典逻辑中称为其负词项，如“三角形”的负词项是“非三角形”。 根据不同人的习惯，负词项可能使用上划线 [math]\displaystyle{ \bar{P} }[/math] 或撇号 [math]\displaystyle{ P' }[/math] 表示。

比如 [math]\displaystyle{ S\mathrm{a}P }[/math] “所有 S 是 P”使用换质法的结果就是 [math]\displaystyle{ S\mathrm{e}\bar{P} }[/math] “所有 S 不是非 P”。

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} S\mathrm{a}P &\Leftrightarrow S\mathrm{e}\bar{P} \\ S\mathrm{e}P &\Leftrightarrow S\mathrm{a}\bar{P} \\ S\mathrm{i}P &\Leftrightarrow S\mathrm{o}\bar{P} \\ S\mathrm{o}P &\Leftrightarrow S\mathrm{i}\bar{P} \\ \end{aligned} }[/math]

换位推理

直接换位推理

换位法(conversion)，或对一个命题换位(convert)，指交换直言命题中的主项和谓项，得到新的命题作为结论。

换位时必须遵守周延性原则：前提中不周延的词项在结论中不得变为周延。具体而言， [math]\displaystyle{ S\mathrm{a}P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ S\mathrm{o}P }[/math] 中由于 [math]\displaystyle{ S }[/math] 和 [math]\displaystyle{ P }[/math] 的周延性不同，无法换位。

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} S\mathrm{e}P &\Rightarrow P\mathrm{e}S \\ S\mathrm{i}P &\Rightarrow P\mathrm{i}S \\ \end{aligned} }[/math]

由于周延性原则，“所有 S 是 P”和“所有 P 是 S”之间、“有的 S 不是 P”和“有的 P 不是 S”之间，均无法相互推出；而“所有 S 不是 P”和“所有 P 不是 S”之间、“有的 S 是 P”和“有的 P 是 S”之间，是等价的命题，都描述是否存在既是 S 也是 P 的个体。

限量换位推理

限量换位(conversion per accidens)指尽管 A 命题无法进行换位法，还是可以在改变量词的基础上将其换位。有两种解释：

• [math]\displaystyle{ S\mathrm{a}P }[/math] 可以单向推出 [math]\displaystyle{ S\mathrm{i}P }[/math] ，而 [math]\displaystyle{ S\mathrm{i}P }[/math] 可以换位为 [math]\displaystyle{ P\mathrm{i}S }[/math] 。
• [math]\displaystyle{ S\mathrm{a}P }[/math] 不能换位为 [math]\displaystyle{ P\mathrm{a}S }[/math] 的原因是前提中谓项 [math]\displaystyle{ P }[/math] 不周延，而在结论中主项 [math]\displaystyle{ P }[/math] 周延，这潜在地引入了对 [math]\displaystyle{ P }[/math] 范围的刻画，将其全称“所有”改为特称“有的”去除了这一影响。

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} S\mathrm{a}P &\Rightarrow P\mathrm{i}S \\ \end{aligned} }[/math]

对 E 命题，由 SeP 可以单向得到 PoS 。这是 SeP 换位成等价的 PeS 后，通过差等推理得到 PoS ，一般不视为限量换位。

至于 O 命题无法进行直接换位，也无法进行限量换位。

换质位推理、换位质推理

由于换质和换位本身重复使用两次会导致回到原来的前提，只能交替使用。 通过交替进行换质与换位操作，可以从任意一类直言命题（A, E, I, O）出发，推导出一系列相关命题。通常，推理到 O 命题后难以继续，从而形成若干条不同的推导路径。

其中先换质的称为换质位推理，先换位的称为换位质推理。

换质位推理：

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} S\mathrm{a}P &\Rightarrow S\mathrm{e}\bar{P} &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{e}S &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{a}\bar{S} &\Rightarrow \bar{S}\mathrm{i}\bar{P} &\Rightarrow \bar{S}\mathrm{o}P \\ &&&&\Rightarrow \bar{P}\mathrm{i}\bar{S} &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{o}S \\ S\mathrm{e}P &\Rightarrow S\mathrm{a}\bar{P} &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{i}S &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{o}\bar{S} \\ &&\Rightarrow S\mathrm{i}\bar{P} &\Rightarrow S\mathrm{o}P \\ S\mathrm{i}P &\Rightarrow S\mathrm{o}\bar{P} \\ S\mathrm{o}P &\Rightarrow S\mathrm{i}\bar{P} &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{i}S &\Rightarrow \bar{P}\mathrm{o}\bar{S} \\ \end{matrix} }[/math]

换位质推理：

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} S\mathrm{a}P &\Rightarrow P\mathrm{i}S &\Rightarrow P\mathrm{o}\bar{S} \\ S\mathrm{e}P &\Rightarrow P\mathrm{e}S &\Rightarrow P\mathrm{a}\bar{S} &\Rightarrow \bar{S}\mathrm{i}P &\Rightarrow \bar{S}\mathrm{o}\bar{P} \\ &&&\Rightarrow P\mathrm{i}\bar{S} &\Rightarrow P\mathrm{o}S \\ S\mathrm{i}P &\Rightarrow P\mathrm{i}S &\Rightarrow P\mathrm{o}\bar{S} \\ S\mathrm{o}P \\ \end{matrix} }[/math]

传统逻辑
直言命题	直接推理（对当关系推理、换质推理、换位推理）、三段论（直言三段论）
假言命题	假言推理（肯定前件、否定后件、逆否命题推理）、假言三段论
选言命题	选言推理（选言三段论）
-	选言假言推理（构成式二难推理、破斥式二难推理）