序型

序型
术语名称	序型
英语名称	order type

序型(order type)是对序的抽象刻画。对偏序及更强的序，称序同构的两个有序集具有相同的序型。

由于良序集的序型与序数一一对应，一般多研究良序集的序型。

定义

对两个偏序集 [math]\displaystyle{ (P,\preceq_P) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (Q,\preceq_Q) }[/math] ，若存在序同构 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] （即保持序关系地将一个集合元素一一对应到另一个集合上），则称偏序集 [math]\displaystyle{ (P,\preceq_P) }[/math] 与 [math]\displaystyle{ (Q,\preceq_Q) }[/math] 具有相同的序型(have the same order type)。或称所有序同构的有序集构成的等价类为一个序型。

良序集的序型与序数一一对应，也称对应的序数为这一良序集的序型。特别地，在 von Neumann 序数构造下，良序集 [math]\displaystyle{ (n, \in_n) }[/math] 的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 是 von Neumann 序数，称 [math]\displaystyle{ n }[/math] 为 [math]\displaystyle{ (n, \in_n) }[/math] 的序型。

性质

• 序型是序同构中的不变量，两个有序集有相同序型当且仅当它们序同构。可以认为序型是有序集结构的抽象，忽略具体元素。
• 良序集的序型有特别良好的性质：
  • 每个良序集都唯一对应一个序数，称为该良序集的序型；
  • 在 von Neumann 序数定义下，序数本身就是具有该序型的良序集；
  • 良序定理断言每个集合都可以良序化，因此每个集合基数都对应多个序型。

经典序型例子

• 有限序型
  • [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ：空集的序型。
  • [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ：单元素集的序型。
  • [math]\displaystyle{ n }[/math] ： n 个元素的全序集的序型。
• 可数无限序型
  • [math]\displaystyle{ \omega }[/math] ：自然数集(0,1,2,3,...)的序型。
  • [math]\displaystyle{ ^* \omega }[/math] ：负整数集(...,-3,-2,-1)的序型。
  • [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] ：整数集(...,-2,-1,0,1,2,...)的序型。
  • [math]\displaystyle{ \eta }[/math] ：有理数集的序型。
• 不可数序型
  • [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ：实数集的序型。
  • [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] ：最小不可数序数对应的序型。

序型运算

对偶

设 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 是一个序型， [math]\displaystyle{ ^* \alpha }[/math] 定义为其对偶序的序型。

加法

设 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 是两个序型， [math]\displaystyle{ \alpha+\beta }[/math] 定义为将 [math]\displaystyle{ \beta }[/math] 类型的集合接在 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 类型的集合之后构成的新序型。

性质

• 不满足交换律：如 [math]\displaystyle{ (\mathbb{N},\lt ) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \{a\} }[/math] 相连可以构成 [math]\displaystyle{ \{0,1,2,\cdots\}\cup \{a\} }[/math] 上的两个全序 [math]\displaystyle{ 0\lt 1\lt 2\lt \cdots\lt a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ a\lt 0\lt 1\lt 2\lt \cdots }[/math] ，可以看到前者有一个最大元而后者没有，两个序结构不同。
• 满足结合律：相当于多个集合上的序按顺序接在一起，结合顺序不影响得到的序。

乘法

设 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 是两个序型， [math]\displaystyle{ \alpha\cdot\beta }[/math] 定义为按反字典序排列的笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \alpha\times\beta }[/math] 。

性质：

• 不满足交换律：如 [math]\displaystyle{ (\mathbb{N},\lt ) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ (\{0,1\},\lt ) }[/math] 在笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \{0,1\}\times\{1,2,\cdots\} }[/math] 上的序，字典序 [math]\displaystyle{ (0,0)\lt (0,1)\lt (1,0)\lt (1,1)\lt (2,0)\lt (2,1)\lt \cdots }[/math] 中，除最小元外都有其前趋元素，反字典序 [math]\displaystyle{ (0,0)\lt (1,0)\lt (2,0)\lt \cdots\lt (0,1)\lt (1,1)\lt (2,1)\lt \cdots }[/math] 中 [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] 前面是全部形如 [math]\displaystyle{ (a,0) }[/math] 的元素，找不到其前趋。
• 满足对加法的左分配律： [math]\displaystyle{ \alpha\cdot(\beta+\gamma)=\alpha\cdot\beta+\alpha\cdot\gamma }[/math] ，两种表达对应相同的结构，只是操作顺序差别。
• 不满足对加法的右分配律。