乘性不可分解序数
| 乘性不可分解序数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 乘性不可分解序数 |
| 英语名称 | multiplicatively indecomposable ordinal |
| 别名 | 德尔塔数, delta number |
本条目没有一致可信的中文译名。
乘性不可分解序数(multiplicatively indecomposable ordinal)是一类在序数乘法下具有特殊性质的序数，它们不能分解为两个更小序数的积。这意味着任何更小序数都不可能只通过乘法跨越这一屏障，这些屏障将序数分为不同的层级。更小的序数无法通过乘法影响这一序数，因此将这样的序数乘在更小序数后时会将其吸收。
定义
对大于 1 的序数 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] ，若对任意 [math]\displaystyle{ \beta,gamma\lt \alpha }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ \beta\cdot\gamma\lt \alpha }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 是一个乘性不可分解序数(multiplicatively indecomposable ordinal)，也称为 δ 数(delta numbers)。
或表述为：一个序数是乘性不可分解的，当且仅当它不能表示为两个更小序数之积。
特征
序数 2 是乘性不可分解序数。其他乘性不可分解序数恰好是全体形如 [math]\displaystyle{ \omega^{\omega^\alpha} }[/math] 的序数，其中 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 是任意序数。
最小的乘性不可分解序数是 [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ，然后是 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] （[math]\displaystyle{ \alpha=0 }[/math]）、 [math]\displaystyle{ \omega^\omega }[/math] （[math]\displaystyle{ \alpha=1 }[/math]）、 [math]\displaystyle{ \omega^{\omega^2} }[/math] （[math]\displaystyle{ \alpha=2 }[/math]），以此类推。然后在极限意义上得到 [math]\displaystyle{ \omega^{\omega^\omega} }[/math] 以及更复杂的序数。
性质
- 乘性不可分解序数对更小的非零序数满足乘法的单侧吸收律。 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 是乘性不可分解序数， [math]\displaystyle{ \beta \lt \alpha }[/math] 且 [math]\displaystyle{ \beta\neq 0 }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ \beta\cdot\alpha\lt \alpha }[/math] 。
- 此时 [math]\displaystyle{ \alpha\cdot\beta = \sup_{\delta\lt \beta}(\alpha\cdot\delta) }[/math] 中 [math]\displaystyle{ \alpha\cdot\delta }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \delta }[/math] 本身组成的集合都小于 [math]\displaystyle{ \beta }[/math] ，且是其上确界。
- 除了 2 以外，全体乘性不可分解序数都是加性不可分阶序数。
| 序数 | ||
|---|---|---|
| 构造 | 0 、后继序数、极限序数 | |
| 分类 | 有限序数（自然数）、可数序数、不可数序数；初始序数 | |
| 运算 | 名称 | 不可分解点或不动点 |
| 后继、上确界 | - | |
| 加法 [math]\displaystyle{ + }[/math] | 加性不可分解序数 / [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] 数 | |
| 乘法 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] | 乘性不可分解序数 / [math]\displaystyle{ \delta }[/math] 数 | |
| 乘方 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math] | [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] 数 | |
| 更高阶运算 | [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] 数、 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 数…… | |