加性不可分解序数
| 加性不可分解序数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 加性不可分解序数 |
| 英语名称 | additively indecomposable ordinal |
| 别名 | 伽马数, gamma number |
本条目没有一致可信的中文译名。
加性不可分解序数(additively indecomposable ordinal)是一类在序数加法下具有特殊性质的序数，它们不能分解为两个更小序数的和。这意味着任何更小序数都不可能只通过加法跨越这一屏障，这些屏障将序数分为不同的层级。更小的序数无法通过加法影响这一序数，因此将这样的序数加在更小序数后时会将其吸收。
定义
对非零序数 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] ，若对任意 [math]\displaystyle{ \beta,gamma\lt \alpha }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ \beta+\gamma\lt \alpha }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 是一个加性不可分解序数(additively indecomposable ordinal)，也称为 γ 数(gamma numbers)。
或表述为：一个序数是加性不可分解的，当且仅当它不能表示为两个更小序数之和。
特征
加性不可分解序数恰好是全体形如 [math]\displaystyle{ \omega^\alpha }[/math] 的序数，其中 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 是任意序数。
最小的加性不可分解序数是 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] （[math]\displaystyle{ \alpha=0 }[/math]），然后是 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] （[math]\displaystyle{ \alpha=1 }[/math]）、 [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] ，以此类推。然后在极限意义上得到 [math]\displaystyle{ \omega^\omega }[/math] 以及更复杂的序数。
性质
- 分解定理：任意非零序数 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 都可以唯一表示为 [math]\displaystyle{ \alpha=\gamma+\beta }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] 是加性不可分解序数且 [math]\displaystyle{ \beta\lt \gamma }[/math] 。
- 加性不可分解序数对更小的序数满足加法的单侧吸收律。 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 是加性不可分解序数， [math]\displaystyle{ \beta \lt \alpha }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ \beta+\alpha\lt \alpha }[/math] 。
- 此时 [math]\displaystyle{ \alpha+\beta = \sup_{\delta\lt \beta}(\alpha+\delta) }[/math] 中 [math]\displaystyle{ \alpha+\delta }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \delta }[/math] 本身组成的集合都小于 [math]\displaystyle{ \beta }[/math] ，且是其上确界。
- 推论：根据分解定理和结合律，加法中在一个序数左侧添加小于其最大的加性不可分解序数项不会改变序数。
- 比如 [math]\displaystyle{ 1+\omega=\omega }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ 1+n,n\in\mathbb{N} }[/math] 本身和 [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] 只差头部一个元素 0 ，其他元素对应相同。类似地， [math]\displaystyle{ \omega+\omega^2=\omega^2 }[/math] 。
| 序数 | ||
|---|---|---|
| 构造 | 0 、后继序数、极限序数 | |
| 分类 | 有限序数（自然数）、可数序数、不可数序数；初始序数 | |
| 运算 | 名称 | 不可分解点或不动点 |
| 后继、上确界 | - | |
| 加法 [math]\displaystyle{ + }[/math] | 加性不可分解序数 / [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] 数 | |
| 乘法 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] | 乘性不可分解序数 / [math]\displaystyle{ \delta }[/math] 数 | |
| 乘方 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math] | [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] 数 | |
| 更高阶运算 | [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] 数、 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 数…… | |