复合（映射）
| 复合 | |
|---|---|
| 术语名称 | 复合 |
| 英语名称 | composition |
映射的复合(composition of map / function)是指将两个或多个函数按顺序进行形成新映射。
定义
| 复合 | |
|---|---|
| 运算名称 | 复合 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \circ }[/math] |
| Latex | \circ
|
| 运算对象 | 映射 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 映射 |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ Y ^ X \times Z ^ Y }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ Z ^ X }[/math] |
对映射 [math]\displaystyle{ f: X \to Y, g: Y \to Z }[/math] ，有映射 [math]\displaystyle{ h: X \to Z; x \mapsto g(f(x)) }[/math] ，称为映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 和 [math]\displaystyle{ g }[/math] 的复合(compose)，记作 [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math]。即 [math]\displaystyle{ (g \circ f)(x) = g(f(x)) }[/math] 。
也有人使用 [math]\displaystyle{ f \circ g }[/math]。特别地，由于现行顺序较难读，将 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] 记作 [math]\displaystyle{ xf }[/math]，并据此记 [math]\displaystyle{ xfg=x(fg) }[/math] 的写法也存在，但使用并不广泛。
一般叫做 [math]\displaystyle{ g }[/math] of [math]\displaystyle{ f }[/math] 、 [math]\displaystyle{ g }[/math] after [math]\displaystyle{ f }[/math] 或 [math]\displaystyle{ f }[/math] then [math]\displaystyle{ g }[/math] 。
若被复合的 [math]\displaystyle{ f }[/math] 和 [math]\displaystyle{ g }[/math] 相同，经常使用特殊的简写记号，参见迭代（映射）。
性质
- 结合性。对映射 [math]\displaystyle{ f, g, h }[/math]，有 [math]\displaystyle{ h \circ (g \circ f)=(h \circ g) \circ f }[/math]。
- 左右单位元为各自集合上的恒等映射。
- [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_Y \circ f = f }[/math]
- [math]\displaystyle{ f \circ \mathrm{id}_X = f }[/math]
| 映射 | |
|---|---|
| 定义属性 | 定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math] 、陪域、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math] |
| 特殊映射 | 空映射、常值映射、恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\bullet }[/math]、包含映射[math]\displaystyle{ \iota }[/math] |
| 类型 | 单射、满射、双射 |
| 运算 | 复合[math]\displaystyle{ \circ }[/math]、迭代[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、逆映射（反函数）[math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math]、限制、延拓 |