典范分解
| 典范分解 | |
|---|---|
| 术语名称 | 典范分解 |
| 英语名称 | canonical decomposition |
典范分解(canonical decomposition)是对任意映射的分解，指出任意映射结构上可以被分为三步：将定义域按像的异同划分、分别对应到像、包含映射到陪域。
定义
对任意映射 [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] ，记等价关系 [math]\displaystyle{ a_1 \sim a_2 \leftrightarrow f(a_1)=f(a_2) }[/math] ，则有：
[math]\displaystyle{ f = \iota \circ \tilde{f} \circ \pi }[/math]
或者说
[math]\displaystyle{ A \twoheadrightarrow (A/\sim) \xrightarrow[f]{\sim} \operatorname{im} f \hookrightarrow B }[/math]
其中按复合顺序的三个映射分别为：
- [math]\displaystyle{ \pi }[/math] ：自然映射，满射。从定义域 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到商集 [math]\displaystyle{ A/\sim }[/math] ，将全部像相同的元素映射到同一个等价类。
- [math]\displaystyle{ \tilde{f} }[/math] ：双射。从商集 [math]\displaystyle{ A/\sim }[/math] 到值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{im}f }[/math] ，把每个像相同的等价类映射到值域里所对应的像中。
- [math]\displaystyle{ \iota }[/math] ：包含映射，单射。把值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{im}f }[/math] 嵌入陪域 [math]\displaystyle{ B }[/math] 。