映射

映射
术语名称	映射
英语名称	mapping

函数
术语名称	函数
英语名称	function

映射(mapping)指将一个集合中的任意一个元素都按某种规则唯一地对应到另一个集合的元素的对应关系。两个集合都是数集时，也称函数(function)。

定义

对 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是左全右唯一的，即：

• 左全：[math]\displaystyle{ \forall x \exist y (x R y) }[/math]
• 右唯一：[math]\displaystyle{ \forall x \forall y_1 \forall y_2 ((x R y_1 \land x R y_2) \rightarrow y_1 = y_2) }[/math]

称是 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的映射(mapping)。 若都是数集，也称为函数(function)。

原像
术语名称	原像
英语名称	preimage

像
术语名称	像
英语名称	image

习惯上认为映射及函数是与关系不同的一类对象，这里重新记作 [math]\displaystyle{ f }[/math] ，并记 [math]\displaystyle{ x R y }[/math] 为 [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math]，称：

• [math]\displaystyle{ x }[/math] 是 [math]\displaystyle{ y }[/math] 的原像(preimage)，
• [math]\displaystyle{ y }[/math] 是 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的像(image)。

相关定义

定义域
术语名称	定义域
英语名称	domain

陪域
术语名称	陪域
英语名称	codomain

值域
术语名称	值域
英语名称	range
别名	像集, image

此外：

• 将关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的前域(domain) [math]\displaystyle{ X }[/math] ，同时左全所以也是定义域(domain of definition) [math]\displaystyle{ \operatorname{dom}R=\{x\in X | \exist y ( x R y ) \} }[/math]，称为映射或函数 [math]\displaystyle{ f }[/math] 的定义域(domain, domain of definition) [math]\displaystyle{ \operatorname{dom}f }[/math]；
• 将关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的后域(codomain) [math]\displaystyle{ Y }[/math] 称为映射或函数 [math]\displaystyle{ f }[/math] 的陪域(codomain)；
• 将关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的值域(range) [math]\displaystyle{ \operatorname{ran}R = \{y \in Y | \exist x ( x R y ) \} }[/math] 称为映射或函数 [math]\displaystyle{ f }[/math] 的值域(range) [math]\displaystyle{ \operatorname{ran}f = \{y \in Y | \exist x ( y = f(x) ) \} }[/math]，有时也记作 [math]\displaystyle{ f(X) }[/math] ，也称为像集(image)，记作 [math]\displaystyle{ \operatorname{im}f }[/math] 。

映射、函数一般用f、g、h、……表示。

全体有序对 [math]\displaystyle{ (x, f(x)) }[/math] 的集合称为映射的图像(graph)。

注意：部分定义会要求所涉及的两个集合非空，即拒绝承认空映射。这会导致部分函数运算失去封闭性，因此这里采用映射的关系定义，以避免这个问题。

表示

箭头记号

常用 [math]\displaystyle{ f: X \to Y; x \mapsto f(x) }[/math] 代表“[math]\displaystyle{ f }[/math] 是 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的映射，并将每个 [math]\displaystyle{ x }[/math] 映射到 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]([math]\displaystyle{ f }[/math] is a map / mapping from [math]\displaystyle{ X }[/math] to [math]\displaystyle{ Y }[/math], which maps [math]\displaystyle{ x }[/math] to [math]\displaystyle{ f(x) }[/math])”。

借用关系的表示

• 表格：和关系类似，对少量有限集合上的函数，可以直接使用表格表示对应关系。由于右唯一，与普通关系的二维布尔的表格不同，两列的表格就能表达出函数。
• 关系图：映射一般按前后域不同的关系，画成二部图的形式。

图像

主条目：函数图像

一般用于数集，通过将函数关系的有序对对应到平面上的点来表示函数。

公式

函数解析式

对于关系是某种计算关系的，可以通过解析式的方式表达。即把 y 表达为 x 的某个代数式。

隐函数

通过 x 和 y 的代数式取值来表达 x 和 y 具有的关系，特别地，隐函数很多时候是。

递推关系

主条目：递推和递归

有些情况下，函数会通过递推关系来表达，一般会给定初始条件和递推关系。

集合

从 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的全体映射的集合记为 [math]\displaystyle{ Y^X }[/math] 。

推广

1. 尽管左全是函数定义的一部分，很多时候给出所在的集合时并不会严格要求处处存在定义，只有需要明确指出定义域时才会指出实际定义域。这样仅满足右唯一的情况，类比于函数，称为部分函数。
2. 在部分情况下，有些关系不能保证右唯一，这种对应多个值的情况，也可以被理解为像是一个集合的映射，称为多值函数。隐函数很多时候不是函数而是多值函数。

映射
定义属性	定义域、陪域、值域
特殊映射	空映射、常值映射、恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\bullet }[/math]、包含映射[math]\displaystyle{ \iota }[/math]
类型	单射、满射、双射
运算	复合[math]\displaystyle{ \circ }[/math]、迭代[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、逆映射（反函数）[math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math]、限制、延拓