完全商

完全商
术语名称	完全商
英语名称	complete quotient

完全商(complete quotient)指连分数结构中重复出现的部分。

[math]\displaystyle{ \boxed{a_0 + \cfrac1{ \boxed{a_1 + \cfrac1{ \boxed{a_2 + \cfrac1{ \boxed{\ddots + \cfrac1{\boxed{a_n}} }}}}}}} }[/math]

定义

对有限连分数 [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, \cdots, a_n] }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ [a_k, a_{k+1}, \cdots, a_n] }[/math] 为其第 [math]\displaystyle{ k }[/math] 个渐完全商([math]\displaystyle{ k }[/math]th convergent)，或统称 [math]\displaystyle{ [a_0,\cdots,a_n], [a_1,\cdots,a_n], \cdots, [a_n] }[/math] 为这一连分数的完全商(complete quotient)。

性质

简单连分数的完全商除了第 0 个以外，有限简单连分数的每个项都大于 1，且整数部分（除了只有两个部分商且最后一个为 1 的情况）就是第一个部分商。可以推广到无限简单连分数。

连分数
基本定义	连分数（简单、普通、广义；有限、无限）	连分数算法
部分结构	渐近分数	完全商
分类	有限连分数	循环连分数、无限不循环连分数
最佳有理逼近
用连分数逼近	渐近分数	半渐近分数
用中间分数逼近	Farey 数列	Stern–Brocot 树