最佳有理逼近

最佳有理逼近
术语名称	最佳有理逼近
英语名称	best rational approximation
别名	丢番图逼近, Diophantine approximation

最佳有理逼近(best rational approximation)指对某个实数，有理数在分母有限时最接近的值。寻找最佳有理逼近的问题称为最佳有理逼近问题或丢番图逼近(Diophantine approximation)问题。

定义

对实数 [math]\displaystyle{ x }[/math] ，有某有理数最简分数形式为 [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] ，若对任意分母不大于 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的有理数，其与 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的绝对值之差都不小于 [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] 与 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的绝对值之差，则称有理数 [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] 为这个实数的一个最佳近似值。

性质

实数的所有渐近分数都是其最佳有理逼近。

连续两个渐近分数中，至少有一个 [math]\displaystyle{ |x - \tfrac{p}{q}| \lt \tfrac{1}{2 q^2} }[/math] 。

连续三个渐近分数中，至少有一个 [math]\displaystyle{ |x - \tfrac{p}{q}| \lt \tfrac{1}{\sqrt5 q^2} }[/math] 。

因此对某个实数而言，绝对值之差不超过 [math]\displaystyle{ \tfrac1{\sqrt5 q^2} }[/math] 的最佳有理逼近是无穷多的。

此外，对任意 [math]\displaystyle{ \tfrac1{\lambda q^2}, \lambda\gt \sqrt5 }[/math] ，不可能存在无穷多个有理分数是黄金比例 [math]\displaystyle{ \frac{1+\sqrt5}2 }[/math] 的最佳有理逼近。

反过来，实数的最佳有理逼近都是其半渐近分数。

连分数
基本定义	连分数（简单、普通、广义；有限、无限）	连分数算法
部分结构	渐近分数	完全商
分类	有限连分数	循环连分数、无限不循环连分数
最佳有理逼近
用连分数逼近	渐近分数	半渐近分数
用中间分数逼近	Farey 数列	Stern–Brocot 树