循环连分数
| 循环连分数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 循环连分数 |
| 英语名称 | periodic continued fraction |
| 别名 | 周期连分数 |
| 纯循环连分数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 纯循环连分数 |
| 英语名称 | purely periodic continued fraction |
| 别名 | 纯周期连分数 |
| 周期 | |
|---|---|
| 术语名称 | 周期 |
| 英语名称 | period |
循环连分数/周期连分数(periodic continued fraction)指部分商按周期循环的简单连分数。
一个连分数是循环连分数当且仅当这个数是个实二次无理数。
定义
有循环节的无限简单连分数 [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, \dots, a_{k-1}, a_k, \dots, a_{k+m}, a_k, \dots, a_{k+m}, \dots] }[/math] 称为循环连分数/周期连分数(periodic continued fraction)，记作 [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, \dots, a_{k-1}, \overline{a_k, \dots, a_{k+m}}] }[/math] 。也有人记作 [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, \dots, a_{k-1}, \dot{a}_k, \dots, \dot{a}_{k+m}] }[/math] 。使这个形式成立的最小 [math]\displaystyle{ m }[/math] 称为这一循环连分数的周期(period)。
特别地，若一个循环连分数的所有部分商都是循环部分，即形如 [math]\displaystyle{ [\overline{a_0, \dots, a_m}] }[/math] ，则称其为一个纯循环连分数/纯周期连分数(purely periodic continued fraction)。对一个非纯循环的循环连分数，一定存在一个最大的纯循环的部分商，称为其最大纯循环部分。
性质
一个连分数是纯循环连分数当且仅当存在部分商与其本身相等。且这个部分商的序号被周期整除。
一个连分数是循环连分数当且仅当是一个实二次无理数。比如方程 [math]\displaystyle{ x^2 - kx + 1 = 0 }[/math] 化为 [math]\displaystyle{ x = k + \frac{1}{x} }[/math] ，则这个方程的两个根其中形如 [math]\displaystyle{ \frac{p+\sqrt{\Delta}}{q} }[/math] 的就能表示为 [math]\displaystyle{ x = k + \frac{1}{ k + \frac{1}{ \ddots } } }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ [\overline{k}] }[/math] 。这个无限连分数的渐近分数总是收敛于 [math]\displaystyle{ \frac{p+\sqrt{\Delta}}{q} }[/math] 而非其共轭数 [math]\displaystyle{ \frac{p-\sqrt{\Delta}}{q} }[/math] 。
如果更加复杂的话，因为有相关系数问题，循环节也会随之变得复杂。
举例
[math]\displaystyle{ [\overline{1}] = [1, 1, \dots] }[/math] 是黄金分割比 [math]\displaystyle{ \varphi = \frac{1+\sqrt5}2 }[/math] ， [math]\displaystyle{ [\overline{2}] = [2, 2, \dots] }[/math] 是白银分割比 [math]\displaystyle{ \delta_S = 1+\sqrt2 }[/math] 。