剩余类
| 剩余类 | |
|---|---|
| 术语名称 | 剩余类 |
| 英语名称 | residue class |
| 别名 | 同余类, congruence class |
| 剩余类代表元 | |
|---|---|
| 术语名称 | 剩余类代表元 |
| 英语名称 | residue |
| 别名 | 剩余 |
剩余类(congruence class/residue class)指给定模数下与一个整数同余的全体整数构成的集合，也是整数集在同余关系这个等价关系下这个整数所代表的等价类。
定义
在整数集 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] 中，对正整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 同余是一种等价关系，则在这一等价关系下的等价类，称为一个模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 剩余类(congruence/residue class modulo n)。以整数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 为代表元的等价类 [math]\displaystyle{ \{d\in\mathbb{Z}\mid d\equiv a\pmod n \} }[/math] 称为整数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 剩余类(congruence/residue class of a modulo n)，记作 [math]\displaystyle{ [a]_n }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \bar{a}_n }[/math] ，也有人记作 [math]\displaystyle{ a \bmod n }[/math] ，其中等价类的代表元(representative)整数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 也称为剩余类的代表元/剩余(residue)。若上下文可以推出模数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，可简记作 [math]\displaystyle{ [a] }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \bar{a} }[/math] 。
注：符号 [math]\displaystyle{ a\bmod n }[/math] 更经常用于取余运算，需要根据上下文区分。
注：抽象代数领域，由于有引入陪集符号，相当于 [math]\displaystyle{ a+n\mathbb{Z} }[/math] 。但是一般讨论剩余类时一般是在数论领域，不使用此类型的符号。
性质
剩余类是等价类，所有剩余类是一个划分。其代表元构成完全剩余系，也反映了这些等价类之间的一些性质关联，参见对应词条。