计数量词：修订间差异

2025年12月19日 (五) 16:53的最新版本

计数量词
术语名称	计数量词
英语名称	numerical quantifier
别名	numeric quantifier, counting quantifier

请注意，这个条目所介绍的术语没有标准称呼。仅仅是为了便于描述建立条目取了一个名字。

计数量词(numerical quantifier)是广义量词的一种，包括相当于自然语言中的“有（恰好、至多、至少） [math]\displaystyle{ N }[/math] 个不同的……满足……”。

定义

命题中，表达“存在恰好 [math]\displaystyle{ N }[/math] 个不同的……使得……”的含义的量词，记作 [math]\displaystyle{ \exists^{=N} }[/math] ；表达“存在至多 [math]\displaystyle{ N }[/math] 个不同的……使得……”的含义的量词，记作 [math]\displaystyle{ \exists^{\leq N} }[/math] ；表达“存在至少 [math]\displaystyle{ N }[/math] 个不同的……使得……”的含义的量词，记作 [math]\displaystyle{ \exists^{\geq N} }[/math] 。

比如，对 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] ，

命题“存在恰好两个 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 [math]\displaystyle{ \exists^{=2} x p(x) }[/math] ；
命题“存在至多两个 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 [math]\displaystyle{ \exists^{\leq 2} x p(x) }[/math] ；
命题“存在至少两个 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 [math]\displaystyle{ \exists^{\geq 2} x p(x) }[/math] 。

其他量词表示

常用量词表示

计数量词不是常用量词，可以按以下方式表达为常用量词：

[math]\displaystyle{ \exist^{\geq N} x p(x) }[/math] 可以被表达为 [math]\displaystyle{ \exist x_1 \dots \exists x_N \left( \left( \bigwedge_{\begin{split}1\leq &k \lt N \\ k \lt &l \leq N\end{split}} x_k \neq x_l \right) \land \left( \bigwedge_{1 \leq k \leq N} p(x_k) \right) \right) }[/math] ，即存在 [math]\displaystyle{ N }[/math] 个个体对象两两不同且同时均满足谓词。

[math]\displaystyle{ \exist^{\leq N} x p(x) }[/math] 可以被表达为 [math]\displaystyle{ \forall x_1 \dots \forall x_{N+1} \left( \left( \bigwedge_{1 \leq k \leq N+1} p(x_k) \right) \rightarrow \left( \bigvee_{\begin{split}1\leq &k \leq N \\ k \lt &l \leq N+1\end{split}} x_k = x_l \right) \right) }[/math] ，即对任意 [math]\displaystyle{ (N+1) }[/math] 个个体对象若均满足谓词则至少有两个相同。

[math]\displaystyle{ \exist^{= N} x p(x) }[/math] 则可以等价地重新表达成 [math]\displaystyle{ \exist^{\geq N} x p(x) \land \exist^{\leq N} x p(x) }[/math] ，因此可以用以上两个式子的合取表示。

与其他量词的关系

[math]\displaystyle{ \exists^{\geq 1} }[/math] 是普通的存在量词、 [math]\displaystyle{ \exists^{= 1} }[/math] 是唯一量词，而 [math]\displaystyle{ \exists^{\leq 1} }[/math] “存在至多一个……”也是常见的量词。其他数目的计数量词也会出现在特定命题中，但是常见度很低。

谓词逻辑/一阶逻辑
命题结构	项	个体词（个体常项、个体变项）、论域/个体域、函项、项、闭项
	谓词	谓词（谓词常项、谓词变项）
	量词	量词（辖域、出现）、全称量词 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 、存在量词 [math]\displaystyle{ \exists }[/math]
谓词公式	形式定义	谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math] 、谓词公式、闭式
	逻辑语义	结构、指派/赋值、基本语义定义、解释、满足、模型
	语义分类	普遍有效公式、可满足式、不可满足式
	语义关系	逻辑等值/逻辑等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	前束范式、 Skolem 范式
	个体变项代入	可自由代入、易字、简单易字变形、易字变形
	命题变元代入	置换定理

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+'''计数量词'''('''numerical quantifier''')是广义[[量词]]的一种，包括相当于自然语言中的“有（恰好、至多、至少） <math>N</math> 个不同的……满足……”。
 == 定义 ==
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 表达“存在至少 <math>N</math> 个不同的……使得……”的含义的量词，记作 <math>\exists^{\geq N}</math> 。
-比如，对 <math>P(x)</math> ，
+比如，对 <math>p(x)</math> ，
-* 命题“存在恰好两个 <math>x</math> 的不同图片某个取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 <math>\exists^{=2} x P(x)</math> ；
+* 命题“存在恰好两个 <math>x</math> 的取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 <math>\exists^{=2} x p(x)</math> ；
-* 命题“存在至多两个 <math>x</math> 的不同图片某个取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 <math>\exists^{\leq 2} x P(x)</math> ；
+* 命题“存在至多两个 <math>x</math> 的取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 <math>\exists^{\leq 2} x p(x)</math> ；
-* 命题“存在至少两个 <math>x</math> 的不同图片某个取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 <math>\exists^{\geq 2} x P(x)</math> 。
+* 命题“存在至少两个 <math>x</math> 的取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 <math>\exists^{\geq 2} x p(x)</math> 。
-== 常用量词表示 ==
+== 其他量词表示 ==
+=== 常用量词表示 ===
 计数量词不是常用量词，可以按以下方式表达为常用量词：
-<math>\exist^{\geq N} x P(x)</math> 可以被表达为 <math>\exist x_1 \dots \exists x_N \left( \left( \bigwedge_{\begin{split}1\leq &k < N \\ k < &l \leq N\end{split}} x_k \neq x_l \right) \land \left( \bigwedge_{1 \leq k \leq N} P(x_k) \right) \right) </math> ，即存在 <math>N</math> 个个体对象两两不同且同时均满足谓词。
+<math>\exist^{\geq N} x p(x)</math> 可以被表达为 <math>\exist x_1 \dots \exists x_N \left( \left( \bigwedge_{\begin{split}1\leq &k < N \\ k < &l \leq N\end{split}} x_k \neq x_l \right) \land \left( \bigwedge_{1 \leq k \leq N} p(x_k) \right) \right) </math> ，即存在 <math>N</math> 个个体对象两两不同且同时均满足谓词。
+<math>\exist^{\leq N} x p(x)</math> 可以被表达为 <math>\forall x_1 \dots \forall x_{N+1} \left( \left( \bigwedge_{1 \leq k \leq N+1} p(x_k) \right) \rightarrow \left( \bigvee_{\begin{split}1\leq &k \leq N \\ k < &l \leq N+1\end{split}} x_k = x_l \right) \right) </math> ，即对任意 <math>(N+1)</math> 个个体对象若均满足谓词则至少有两个相同。
+<math>\exist^{= N} x p(x)</math> 则可以等价地重新表达成 <math>\exist^{\geq N} x p(x) \land \exist^{\leq N} x p(x)</math> ，因此可以用以上两个式子的合取表示。
-<math>\exist^{\leq N} x P(x)</math> 可以被表达为 <math>\forall x_1 \dots \forall x_{N+1} \left( \left( \bigwedge_{1 \leq k \leq N+1} P(x_k) \right) \rightarrow \left( \bigvee_{\begin{split}1\leq &k \leq N \\ k < &l \leq N+1\end{split}} x_k = x_l \right) \right) </math> ，即对任意 <math>(N+1)</math> 个个体对象若均满足谓词则至少有两个相同。
+=== 与其他量词的关系 ===
-<math>\exist^{= N} x P(x)</math> 则可以等价地重新表达成 <math>\exist^{\geq N} x P(x) \land \exist^{\leq N} x P(x)</math> ，因此可以用以上两个式子的合取表示。
+<math>\exists^{\geq 1}</math> 是普通的[[存在量词]]、 <math>\exists^{= 1}</math> 是[[唯一量词]]，而 <math>\exists^{\leq 1}</math> “存在至多一个……”也是常见的量词。其他数目的计数量词也会出现在特定命题中，但是常见度很低。
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