逻辑等值

逻辑等值
术语名称	逻辑等值
英语名称	logical equivalence

逻辑等值(logical equivalence)指两个谓词公式之间，在所有可能的赋值下，赋值满足前一个公式当且仅当也满足后一个公式。

逻辑等值是形式语言中根据形式可以用于推断的关系，在不同的语言及其模型中，与实质等值的关系是模型论的重要讨论内容。

定义

逻辑等值
关系名称	逻辑等值
关系符号	[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math],[math]\displaystyle{ = }[/math],[math]\displaystyle{ \equiv }[/math]
Latex	`\Leftrightarrow`, `=`, `\equiv`
关系对象	谓词公式
关系元数	2
类型	等价关系

对两个谓词公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，其中有个体变项均为 [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\dots,x_n }[/math] ，若对任意指派 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \sigma \vDash A }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \sigma \vDash B }[/math] ，则称谓词公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 与 [math]\displaystyle{ B }[/math] 逻辑等值(are logically equivalent)，记作 [math]\displaystyle{ A \Leftrightarrow B }[/math] 或 [math]\displaystyle{ A = B }[/math] 、 [math]\displaystyle{ A\equiv B }[/math] 。此时也称 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 互为逻辑前提和逻辑后承。

性质

逻辑等值意味着两公式互相逻辑蕴涵。
在允许命题变量或零元谓词的讨论场景中，若将命题公式的符号嵌入谓词公式的子集，此时谓词公式间的逻辑蕴含关系相当于命题公式的重言等值关系。
谓词公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 逻辑等值于 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，当且仅当双条件命题 [math]\displaystyle{ A \leftrightarrow B }[/math] 为有效式。
命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 逻辑等值于 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，当且仅当双条件命题 [math]\displaystyle{ A \leftrightarrow B }[/math] 为永真式。

谓词逻辑/一阶逻辑
命题结构	项	个体词（个体常项、个体变项）、论域/个体域、函项、项、闭项
	谓词	谓词（谓词常项、谓词变项）
	量词	量词（辖域、出现）、全称量词 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 、存在量词 [math]\displaystyle{ \exists }[/math]
谓词公式	形式定义	谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math] 、谓词公式、闭式
	逻辑语义	结构、指派/赋值、基本语义定义、解释、满足、模型
	语义分类	普遍有效公式、可满足式、不可满足式
	语义关系	逻辑等值/逻辑等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	前束范式、 Skolem 范式
	个体变项代入	可自由代入、易字、简单易字变形、易字变形
	命题变元代入	置换定理

模型论
研究对象	理论和模型	形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math]		形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math]
	刻画性质	语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性		签名、基数（有限、无穷）
	相互关系	模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ）		理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型
模型间的关系
同构		同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math]
子模型相关		子模型（子结构）、扩张	模型链	同构嵌入
初等子模型相关		初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math]	初等链、初等链的极限	初等嵌入
初等等价		初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math]
相关定理		Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试
相关定理		图引理、初等图引理（常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]）
理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题
刻画		Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性
应用	模型分类	标准模型、非标准模型
应用	定理	（Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试
理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论
模型完备性		理论的模型完备性	理论的子模型完备性	理论的模型完备化