赋值（谓词逻辑）：修订间差异
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一个赋值是一组映射，对一个抽象的谓词公式或语言，为其指定论域，并使其中所有[[个体词（谓词逻辑）|个体常项]]、[[函项]]、[[谓词]]以及个体变项（[[自由变项]]）指向论域上的具体个体对象及其关系、性质。 | 一个赋值是一组映射，对一个抽象的谓词公式或语言，为其指定论域，并使其中所有[[个体词（谓词逻辑）|个体常项]]、[[函项]]、[[谓词]]以及个体变项（[[自由变项]]）指向论域上的具体个体对象及其关系、性质。 | ||
赋值是在[[结构（谓词逻辑）|结构]] | 赋值是在[[结构（谓词逻辑）|结构]]的基础上增加了对个体变项的赋值，也说成是在这一结构下的一个赋值。其中使得给定命题为真的结构称为[[模型]]，因此也说是在这一模型下的一个赋值。 | ||
为形式语言通过赋值给予语义的过程也称作'''解释'''('''interpretation''')。这个一词这里指“为形式语言赋予语义的过程”的含义，见[[解释（谓词逻辑）]]。 | 为形式语言通过赋值给予语义的过程也称作'''解释'''('''interpretation''')。这个一词这里指“为形式语言赋予语义的过程”的含义，见[[解释（谓词逻辑）]]。 | ||
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== 定义 == | == 定义 == | ||
=== | === 对特定公式的赋值 === | ||
对谓词公式 <math>G</math> ，其'''赋值'''('''assignment''') <math>\sigma</math> ，包括： | 对谓词公式 <math>G</math> ，其'''赋值'''('''assignment''') <math>\sigma</math> ，包括： | ||
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* 将 <math>G</math> 中的每一个个体变项 <math>v</math> 映射到论域 <math>D</math> 中的元素。 | * 将 <math>G</math> 中的每一个个体变项 <math>v</math> 映射到论域 <math>D</math> 中的元素。 | ||
=== | === 对全体自由变量的赋值（Tarski 语义学） === | ||
将谓词公式建模为 [[谓词语言|<math>\mathcal{L} | 将谓词公式建模为 [[谓词语言|<math>\mathcal{L}^*</math> 语言]]，其中有序对 <math>\sigma = \left( \mathfrak{I}, A \right)</math> （也常展开为 3-元组 <math>\sigma = \left( D, I, A \right)</math>）称为模型 <math>\mathfrak{I} = \left( D, I \right)</math> 上的一个'''赋值'''/'''指派'''('''assignment''')，其中： | ||
* <math>\mathfrak{I}</math> 即 <math>\left( D, I \right)</math> 是 <math>\mathcal{L} | * <math>\mathfrak{I}</math> 即 <math>\left( D, I \right)</math> 是 <math>\mathcal{L}^*</math>-模型； | ||
* <math>A</math> 是从个体变项的集合到'''论域''' <math>D</math> 的映射。 | * <math>A</math> 是从个体变项的集合到'''论域''' <math>D</math> 的映射。 | ||
2026年1月8日 (四) 12:27的最新版本
| 赋值 | |
|---|---|
| 术语名称 | 赋值 |
| 英语名称 | assignment |
| 别名 | 指派 |
赋值/指派(assignment)是对谓词公式或一个谓词语言中的非逻辑符号和个体变项进行取值使用的数学对象，为语法上的公式或语言提供语义。 一个赋值是一组映射，对一个抽象的谓词公式或语言，为其指定论域，并使其中所有个体常项、函项、谓词以及个体变项（自由变项）指向论域上的具体个体对象及其关系、性质。
赋值是在结构的基础上增加了对个体变项的赋值，也说成是在这一结构下的一个赋值。其中使得给定命题为真的结构称为模型，因此也说是在这一模型下的一个赋值。
为形式语言通过赋值给予语义的过程也称作解释(interpretation)。这个一词这里指“为形式语言赋予语义的过程”的含义，见解释（谓词逻辑）。
类似命题逻辑中的指派和解释，只有闭式才会在结构中解释成命题，而由于自由变项的存在，全部谓词公式都会在赋值中解释成命题。
定义
对特定公式的赋值
对谓词公式 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，其赋值(assignment) [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，包括：
- 一个结构；
- [math]\displaystyle{ D }[/math] 是非空集合，即论域(domain of discourse)或个体域(individual domain)；
- 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 中的元素；
- 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元函项 [math]\displaystyle{ f }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元映射；
- 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元谓词 [math]\displaystyle{ P }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系；
- 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个个体变项 [math]\displaystyle{ v }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 中的元素。
对全体自由变量的赋值（Tarski 语义学）
将谓词公式建模为 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math] 语言，其中有序对 [math]\displaystyle{ \sigma = \left( \mathfrak{I}, A \right) }[/math] （也常展开为 3-元组 [math]\displaystyle{ \sigma = \left( D, I, A \right) }[/math]）称为模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{I} = \left( D, I \right) }[/math] 上的一个赋值/指派(assignment)，其中：
- [math]\displaystyle{ \mathfrak{I} }[/math] 即 [math]\displaystyle{ \left( D, I \right) }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math]-模型；
- [math]\displaystyle{ A }[/math] 是从个体变项的集合到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 的映射。
真值指派、个体指派
仅对其中的零元谓词，或者说命题变元进行指派的过程称为真值指派(truth assignment)； 仅对其中的个体词，或者说个体变元进行指派的过程称为个体指派(individual assignment)。
记号
赋值 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 下的 [math]\displaystyle{ c, f, P }[/math] 的像通常记作 [math]\displaystyle{ c^\sigma, f^\sigma, P^\sigma }[/math] 。 公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 在赋值 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 后的命题通常记作 [math]\displaystyle{ c^\sigma }[/math] 。 见基本语义定义。