等项替换

等项替换
术语名称	等项替换
英语名称

等项替换指在任何谓词公式中，用两相等项进行替换的操作，以及这个操作保证逻辑等值的定理。

这里项的相等指两个项在给定条件下的任意赋值下都相等，或者说通过等词连接得到的是有效式；替换要求它们之间可自由代入。

定义

对公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 若 [math]\displaystyle{ s_1 \dots s_n }[/math] 和 [math]\displaystyle{ t_1 \dots t_n }[/math] 两组，分别对 [math]\displaystyle{ x_1 \dots x_n }[/math] 在 [math]\displaystyle{ \psi }[/math] 中可自由代入，且对任意模型上的任意赋值 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，满足对每对 [math]\displaystyle{ s_i,t_i }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ s_i^\sigma = t_i^\sigma }[/math] （逻辑等值，即 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash s_i=t_i }[/math]），此时有 [math]\displaystyle{ \phi[s_1/x_1, \dots, s_n/x_n] = \phi[t_1/x_1, \dots, t_n/x_n] }[/math] （逻辑等值，即对任意 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi[s_1/x_1, \dots, s_n/x_n] }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi[t_1/x_1, \dots, t_n/x_n] }[/math] ，也即 [math]\displaystyle{ \vDash \phi[s_1/x_1, \dots, s_n/x_n] \leftrightarrow \phi[t_1/x_1, \dots, t_n/x_n] }[/math]），这一操作及变换规则称为等项替换。

将赋值 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 下的满足关系改为一组前提 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] 的逻辑蕴涵也成立。

谓词逻辑/一阶逻辑
命题结构	项	个体词（个体常项、个体变项）、论域/个体域、函项、项、闭项
	谓词	谓词（谓词常项、谓词变项）
	量词	量词（辖域、出现）、全称量词 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 、存在量词 [math]\displaystyle{ \exists }[/math]
谓词公式	形式定义	谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math] 、谓词公式、闭式
	逻辑语义	结构、指派/赋值、基本语义定义、解释、满足、模型
	语义分类	普遍有效公式、可满足式、不可满足式
	语义关系	逻辑等值/逻辑等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	前束范式、 Skolem 范式
	个体变项代入	可自由代入、易字、简单易字变形、易字变形
	命题变元代入	置换定理