模型

一个理论（某个形式语言中的语句集）的模型(model)，指一个总是满足组成其命题的结构。其中，理论提供了一组形式上的语句，而结构提供了一个具体解释、提供了一个论域，在将理论中的这组语句中的个体常项、函项、谓词解释为论域中的个体对象及其关系、性质时，得到的命题总是保证其是真命题；若其中存在开语句，也就是含有自由变项的语句，需要这个结构上的所有赋值都对这个理论有满足关系，也就是进一步将自由变项解释为论域中的任意个体时，这些语句构成的命题也是真命题。

定义

对一阶语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] ，及一组 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math]-语句 [math]\displaystyle{ T }[/math] ，和一个 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math]-结构 [math]\displaystyle{ \mathcal{M}=(M,I) }[/math] ，若对任意 [math]\displaystyle{ \phi\in T }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \phi^{\mathcal{M}} }[/math] 为真命题，即 [math]\displaystyle{ \mathcal{M}\vDash\phi }[/math] ，则称 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是一个理论(theory)，结构 [math]\displaystyle{ \mathcal{M} }[/math] 是理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的一个模型('model)，记作 [math]\displaystyle{ \mathcal{M}\vDash T }[/math] ，读作 [math]\displaystyle{ \mathcal{M} }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ T }[/math] 。

注意：

• 模型是相对于理论的模型。同一个结构可以是不同理论的模型，同一个理论也可以有不同的模型。
• 理论和模型是两个不同描述角度的交汇位置：理论是形式语言中符合语法的语句集，代表着合法的表示形式及表示形式间的变形推理关系，模型具体提供研究对象，将得到的语句解释为具体命题。

谓词逻辑/一阶逻辑
命题结构	项	个体词（个体常项、个体变项）、论域/个体域、函项、项、闭项
	谓词	谓词（谓词常项、谓词变项）
	量词	量词（辖域、出现）、全称量词 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 、存在量词 [math]\displaystyle{ \exists }[/math]
谓词公式	形式定义	谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math] 、谓词公式、闭式
	逻辑语义	结构、指派/赋值、基本语义定义、解释、满足、模型
	语义分类	普遍有效公式、可满足式、不可满足式
	语义关系	逻辑等值/逻辑等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	前束范式、 Skolem 范式
	个体变项代入	可自由代入、易字、简单易字变形、易字变形
	命题变元代入	置换定理