唯一量词

唯一量词
术语名称	唯一量词
英语名称	uniqueness quantifier
别名	存在唯一量词, uniqueness existential quantifier

唯一量词(uniqueness quantifier)是广义量词的一种，包括相当于自然语言中的“有且仅有（唯一）一个……满足……”。

定义

命题中，表达“存在唯一一个不同的……使得……”的含义的量词，记作 [math]\displaystyle{ \exists! }[/math] ，称为唯一量词(uniqueness quantifier)。

比如，对 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] ，命题“存在唯一一个 [math]\displaystyle{ x }[/math] 在个体域内的取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 [math]\displaystyle{ \exists! x p(x) }[/math] ，读作 存在唯一的 [math]\displaystyle{ x }[/math] ，使得 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math](there is exactly one [math]\displaystyle{ x }[/math] such that [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]) 。

存在唯一命题当且仅当只有一个取值下是真命题时为真命题；若在任意取值下都不是真命题，或者有至少两个取值下都是真命题时，这一命题为假命题。

其他量词表示

常用量词表示

唯一量词不是常用量词，命题 [math]\displaystyle{ \exists! x p(x) }[/math] 可以按以下方式重写为常用量词：

[math]\displaystyle{ \exists x p(x) \land \forall y \forall z ((p(y)\land P(z))\rightarrow y=z) }[/math]

即存在这样的 [math]\displaystyle{ x }[/math] ，且不存在两个不同的 [math]\displaystyle{ x }[/math] 。

若已知或可设对某个 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 有 [math]\displaystyle{ p(x_0) }[/math] 为真，则 [math]\displaystyle{ p(x_0) \land \exists! x p(x) }[/math] 也可以转化为：

• [math]\displaystyle{ p(x_0) \land \forall x (p(x) \rightarrow x=x_0) }[/math] 。

注：

• 这两个转化均有两个合取项：
  • 前者相当于存在命题 [math]\displaystyle{ \exists x p(x) }[/math] ，称为存在性(existence)；
  • 后者即命题 [math]\displaystyle{ \forall y \forall z ((p(y)\land P(z))\rightarrow y=z) }[/math] ，称为唯一性(uniqueness)。
• 唯一量词有时也搭配某种等价关系使用，对应“在……意义下唯一”“忽视……的情况下唯一”。此时唯一性子句被替换为 [math]\displaystyle{ \forall y \forall z ((p(y)\land P(z))\rightarrow y\sim z) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \forall x (p(x) \rightarrow x\sim x_0) }[/math] 。

与计数量词的关系

唯一量词可以看作计数量词 [math]\displaystyle{ \exists^{=1} }[/math] 。

谓词逻辑/一阶逻辑
命题结构	项	个体词（个体常项、个体变项）、论域/个体域、函项、项、闭项
	谓词	谓词（谓词常项、谓词变项）
	量词	量词（辖域、出现）、全称量词 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 、存在量词 [math]\displaystyle{ \exists }[/math]
谓词公式	形式定义	谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math] 、谓词公式、闭式
	逻辑语义	结构、指派/赋值、基本语义定义、解释、满足、模型
	语义分类	普遍有效公式、可满足式、不可满足式
	语义关系	逻辑等值/逻辑等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	前束范式、 Skolem 范式
	个体变项代入	可自由代入、易字、简单易字变形、易字变形
	命题变元代入	置换定理