赋值（谓词逻辑）

赋值
术语名称	赋值
英语名称	assignment
别名	指派

赋值/指派(assignment)是对谓词公式或一个谓词语言中的非逻辑符号和个体变项进行取值使用的数学对象，为语法上的公式或语言提供语义。 一个赋值是一组映射，对一个抽象的谓词公式或语言，为其指定论域，并使其中所有个体常项、函项、谓词以及个体变项（自由变项）指向论域上的具体个体对象及其关系、性质。

赋值是在结构的基础上增加了对个体变项的赋值，也说成是在这一模型下的一个赋值。

为形式语言通过赋值给予语义的过程也称作解释(interpretation)。这个一词这里指“为形式语言赋予语义的过程”的含义，见解释（谓词逻辑）。

类似命题逻辑中的指派和解释，只有闭式才会在结构中解释成命题，而由于自由变项的存在，全部谓词公式都会在赋值中解释成命题。

定义

定义1

对谓词公式 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，其赋值(assignment) [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，包括：

• 一个解释；
  • [math]\displaystyle{ D }[/math] 是非空集合，即论域(domain of discourse)或个体域(individual domain)；
  • 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 中的元素；
  • 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元函项 [math]\displaystyle{ f }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元映射；
  • 将 [math]\displaystyle{ P }[/math] -语言中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元谓词 [math]\displaystyle{ P }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系；
• 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个个体变项 [math]\displaystyle{ v }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 中的元素。

定义2（塔尔斯基语义学）

将谓词公式建模为 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] 语言，其中有序对 [math]\displaystyle{ \sigma = \left\langle \mathfrak{I}, A \right\rangle }[/math] （也常展开为3-元组 [math]\displaystyle{ \sigma = \left\langle D, I, A \right\rangle }[/math]）被称为模型 [math]\displaystyle{ \mathcal{I} = \left\langle D, I \right\rangle }[/math] 上的一个赋值/指派(assignment)，其中：

[math]\displaystyle{ \mathcal{I} }[/math] 即 [math]\displaystyle{ \left\langle D, I \right\rangle }[/math] 是 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math]-模型，

[math]\displaystyle{ A }[/math] 是从个体变项的集合到论域[math]\displaystyle{ D }[/math]的映射。

真值指派、个体指派

仅对其中的零元谓词，或者说命题变元进行指派的过程称为真值指派(truth assignment)； 仅对其中的个体词，或者说个体变元进行指派的过程称为个体指派(individual assignment)。

记号

赋值 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 下的 [math]\displaystyle{ c, f, P }[/math] 的像通常记作 [math]\displaystyle{ c^\sigma, f^\sigma, P^\sigma }[/math] 。 公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 在赋值 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 后的命题通常记作 [math]\displaystyle{ c^\sigma }[/math] 。 见基本语义定义。

谓词逻辑/一阶逻辑
命题结构	项	个体词（个体常项、个体变项）、论域/个体域、函项、项、闭项
	谓词	谓词（谓词常项、谓词变项）
	量词	量词（辖域、出现）、全称量词 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 、存在量词 [math]\displaystyle{ \exists }[/math]
谓词公式	形式定义	谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math] 、谓词公式、闭式
	逻辑语义	结构、指派/赋值、基本语义定义、解释、满足、模型
	语义分类	普遍有效公式、可满足式、不可满足式
	语义关系	逻辑等值/逻辑等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	前束范式、 Skolem 范式
	个体变项代入	可自由代入、易字、简单易字变形、易字变形
	命题变元代入	置换定理