计数量词
| 数量词 | |
|---|---|
| 术语名称 | 数量词 |
| 英语名称 | numerical quantifier |
| 别名 | numeric quantifier, counting quantifier |
请注意，这个条目所介绍的术语没有标准称呼。仅仅是为了便于描述建立条目取了一个名字。
数量词(numerical quantifier)是量词的一种，包括相当于自然语言中的“有（恰好、至多、至少） [math]\displaystyle{ N }[/math] 个不同的……满足……”。
定义
命题中，表达“存在恰好 [math]\displaystyle{ N }[/math] 个不同的……使得……”的含义的量词，记作 [math]\displaystyle{ \exists^{=N} }[/math] ； 表达“存在至多 [math]\displaystyle{ N }[/math] 个不同的……使得……”的含义的量词，记作 [math]\displaystyle{ \exists^{\leq N} }[/math] ； 表达“存在至少 [math]\displaystyle{ N }[/math] 个不同的……使得……”的含义的量词，记作 [math]\displaystyle{ \exists^{\geq N} }[/math] 。
比如，对 [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] ，
- 命题“存在恰好两个 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的不同图片某个取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 [math]\displaystyle{ \exists^{=2} x P(x) }[/math] ；
- 命题“存在至多两个 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的不同图片某个取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 [math]\displaystyle{ \exists^{\leq 2} x P(x) }[/math] ；
- 命题“存在至少两个 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的不同图片某个取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 [math]\displaystyle{ \exists^{\geq 2} x P(x) }[/math] 。
常用量词表示
计数量词不是常用量词，可以按以下方式表达为常用量词：
[math]\displaystyle{ \exist^{\geq N} x P(x) }[/math] 可以被表达为 [math]\displaystyle{ \exist x_1 \dots \exists x_N \left( \left( \bigwedge_{\begin{split}1\leq &k \lt N \\ k \lt &l \leq N\end{split}} x_k \neq x_l \right) \land \left( \bigwedge_{1 \leq k \leq N} P(x_k) \right) \right) }[/math] ，即存在 [math]\displaystyle{ N }[/math] 个个体对象两两不同且同时均满足谓词。
[math]\displaystyle{ \exist^{\leq N} x P(x) }[/math] 可以被表达为 [math]\displaystyle{ \forall x_1 \dots \forall x_{N+1} \left( \left( \bigwedge_{1 \leq k \leq N+1} P(x_k) \right) \rightarrow \left( \bigvee_{\begin{split}1\leq &k \leq N \\ k \lt &l \leq N+1\end{split}} x_k = x_l \right) \right) }[/math] ，即对任意 [math]\displaystyle{ (N+1) }[/math] 个个体对象若均满足谓词则至少有两个相同。
[math]\displaystyle{ \exist^{= N} x P(x) }[/math] 则可以等价地重新表达成 [math]\displaystyle{ \exist^{\geq N} x P(x) \land \exist^{\leq N} x P(x) }[/math] ，因此可以用以上两个式子的合取表示。