唯一量词
| 唯一量词 | |
|---|---|
| 术语名称 | 唯一量词 |
| 英语名称 | uniqueness quantifier |
| 别名 | 存在唯一量词, uniqueness existential quantifier |
唯一量词(uniqueness quantifier)是广义量词的一种，包括相当于自然语言中的“有且仅有（唯一）一个……满足……”。
定义
命题中，表达“存在唯一一个不同的……使得……”的含义的量词，记作 [math]\displaystyle{ \exists! }[/math] ，称为唯一量词(uniqueness quantifier)。
比如，对 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] ，命题“存在唯一一个 [math]\displaystyle{ x }[/math] 在个体域内的取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 [math]\displaystyle{ \exists! x p(x) }[/math] ，读作 存在唯一的 [math]\displaystyle{ x }[/math] ，使得 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math](there is exactly one [math]\displaystyle{ x }[/math] such that [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]) 。
存在唯一命题当且仅当只有一个取值下是真命题时为真命题；若在任意取值下都不是真命题，或者有至少两个取值下都是真命题时，这一命题为假命题。
其他量词表示
常用量词表示
唯一量词不是常用量词，命题 [math]\displaystyle{ \exists! x p(x) }[/math] 可以按以下方式重写为常用量词：
[math]\displaystyle{ \exists x p(x) \land \forall y \forall z ((p(y)\land P(z))\rightarrow y=z) }[/math]
即存在这样的 [math]\displaystyle{ x }[/math] ，且不存在两个不同的 [math]\displaystyle{ x }[/math] 。
若已知或可设对某个 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 有 [math]\displaystyle{ p(x_0) }[/math] 为真，则 [math]\displaystyle{ p(x_0) \land \exists! x p(x) }[/math] 也可以转化为：
- [math]\displaystyle{ p(x_0) \land \forall y (p(x) \rightarrow x=x_0) }[/math] 。
这两个转化均有两个合取项：
- 前者相当于存在命题 [math]\displaystyle{ \exists x p(x) }[/math] ，称为存在性(existence)；
- 后者即命题 [math]\displaystyle{ \forall y \forall z ((p(y)\land P(z))\rightarrow y=z) }[/math] ，称为唯一性(uniqueness)。
与计数量词的关系
唯一量词可以看作计数量词 [math]\displaystyle{ \exists^{=1} }[/math] 。