全称量词：修订间差异

2025年12月19日 (五) 14:29的版本

全称量词
术语名称	全称量词
英语名称	universal quantifier

全称量词(universal quantifier)是量词的一种，相当于自然语言中的“对所有的……”、“对任意的……”。

定义

全称量词
对象名称	全称量词
对象记号	[math]\displaystyle{ \forall }[/math]
Latex	`\forall`
对象类别	量词

命题中，表达“对所有（任意）的……都有……”的含义的量词，记作 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] ，称为全称量词(universal quantifier)。

比如，对 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] ，命题“当 [math]\displaystyle{ x }[/math] 取个体域内任何一个值时，所构成的命题都是真命题”，记作 [math]\displaystyle{ \forall x p(x) }[/math] ，读作

对所有 [math]\displaystyle{ x }[/math] ， [math]\displaystyle{ p(x) }[/math](for all [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ p(x) }[/math])
对任意 [math]\displaystyle{ x }[/math] ， [math]\displaystyle{ p(x) }[/math](for any [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ p(x) }[/math])

∀
字符	∀
Unicode码位	`U+2200` For all, Universal Quantifier
Latex命令序列	`\forall`

这样仅包含全称量词表达式及其辖域的公式称为全称式(universally quantified formula)，命题称为全称命题(universally quantified proposition)。对一个命题使用全称量词进行量化的操作，称为全称量化(universal quantification)。

全称命题当全部取值下都是真命题时为真命题，当有至少一个取值下不是真命题时为假命题，这样的取值称为反例。特别地，取值范围是空集时，由于没有反例，全称命题是真命题。

量化域重写

命题“当 [math]\displaystyle{ x }[/math] 取 [math]\displaystyle{ A }[/math] 中的任意一个值时，所构成的命题 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] 都是真命题”，可记作 [math]\displaystyle{ \forall x \in A, p(x) }[/math] 。

这样形式上含有量化域的全称式，总是可被重写为形式上不含量化域的全称式 [math]\displaystyle{ \forall x (x\in A \rightarrow p(x)) }[/math] 。

谓词逻辑/一阶逻辑
命题结构	项	个体词（个体常项、个体变项）、论域/个体域、函项、项、闭项
	谓词	谓词（谓词常项、谓词变项）
	量词	量词（辖域、出现）、全称量词 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 、存在量词 [math]\displaystyle{ \exists }[/math]
谓词公式	形式定义	谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math] 、谓词公式、闭式
	逻辑语义	结构、指派/赋值、基本语义定义、解释、满足、模型
	语义分类	普遍有效公式、可满足式、不可满足式
	语义关系	逻辑等值/逻辑等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	前束范式、 Skolem 范式
	个体变项代入	可自由代入、易字、简单易字变形、易字变形
	命题变元代入	置换定理

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 命题中，表达“对所有（任意）的……都有……”的含义的量词，记作 <math>\forall</math> ，称为'''全称量词'''('''universal quantifier''')。
-主联结词是全称量词的公式称为'''全称式'''('''universally quantified formula''')，命题称为'''全称命题'''('''universally quantified proposition''')。
+比如，对 <math>p(x)</math> ，命题“当 <math>x</math> 取个体域内任何一个值时，所构成的命题都是真命题”，记作 <math>\forall x p(x)</math> ，读作
+* '''对所有 <math>x</math> ， <math>p(x)</math>'''('''for all <math>x</math>, <math>p(x)</math>''')
-比如，对 <math>P(x)</math> ，命题“当 <math>x</math> 取个体域内任何一个值时，所构成的命题都是真命题”，记作 <math>\forall x P(x)</math> ，读作
+* '''对任意 <math>x</math> ， <math>p(x)</math>'''('''for any <math>x</math>, <math>p(x)</math>''')
-* '''对所有 <math>x</math> ， <math>P(x)</math>'''('''for all <math>x</math>, <math>P(x)</math>''')
-* '''对任意 <math>x</math> ， <math>P(x)</math>'''('''for any <math>x</math>, <math>P(x)</math>''')
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-全称命题当全部取值下都是真命题时为真命题，当有至少一个反例下不是真命题时是假命题。
+这样仅包含全称量词表达式及其辖域的公式称为'''全称式'''('''universally quantified formula''')，命题称为'''全称命题'''('''universally quantified proposition''')。
-特别地，取值范围是空集时，由于没有反例，全称命题是真命题，属于 [[vacuous truth]]。
+对一个命题使用全称量词进行量化的操作，称为'''全称量化'''('''universal quantification''')。
+全称命题当全部取值下都是真命题时为真命题，当有至少一个取值下不是真命题时为假命题，这样的取值称为'''反例'''。
+特别地，取值范围是[[空集]]时，由于没有反例，全称命题是真命题。
+== 量化域重写 ==
+命题“当 <math>x</math> 取 <math>A</math> 中的任意一个值时，所构成的命题 <math>p(x)</math> 都是真命题”，可记作 <math>\forall x \in A, p(x)</math> 。
+这样形式上含有量化域的全称式，总是可被重写为形式上不含量化域的全称式 <math>\forall x (x\in A \rightarrow p(x))</math> 。
 {{谓词逻辑}}