逻辑等值
| 逻辑等值 | |
|---|---|
| 术语名称 | 逻辑等值 |
| 英语名称 | logical equivalence |
逻辑等值(logical equivalence)指两个谓词公式之间，在所有可能的赋值下，赋值满足前一个公式当且仅当也满足后一个公式。
逻辑等值是形式语言中根据形式可以用于推断的关系，在不同的语言及其模型中，与实质等值的关系是模型论的重要讨论内容。
定义
| 逻辑等值 | |
|---|---|
| 关系名称 | 逻辑等值 |
| 关系符号 | [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math],[math]\displaystyle{ = }[/math],[math]\displaystyle{ \equiv }[/math] |
| Latex | \Leftrightarrow, =, \equiv
|
| 关系对象 | 谓词公式 |
| 关系元数 | 2 |
| 类型 | 等价关系 |
对两个谓词公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，其中有个体变项均为 [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\dots,x_n }[/math] ，若对任意指派 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \sigma \vDash A }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \sigma \vDash B }[/math] ，则称谓词公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 与 [math]\displaystyle{ B }[/math] 逻辑等值(are logically equivalent)，记作 [math]\displaystyle{ A \Leftrightarrow B }[/math] 或 [math]\displaystyle{ A = B }[/math] 、 [math]\displaystyle{ A\equiv B }[/math] 。此时也称 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 互为逻辑前提和逻辑后承。
性质
- 逻辑等值意味着两公式互相逻辑蕴涵。
- 在允许命题变量或零元谓词的讨论场景中，若将命题公式的符号嵌入谓词公式的子集，此时谓词公式间的逻辑蕴含关系相当于命题公式的重言等值关系。
- 谓词公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 逻辑等值于 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，当且仅当双条件命题 [math]\displaystyle{ A \leftrightarrow B }[/math] 为有效式。
- 命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 逻辑等值于 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，当且仅当双条件命题 [math]\displaystyle{ A \leftrightarrow B }[/math] 为永真式。