等价（逻辑）

等价
术语名称	等价
英语名称	biconditional
别名	双条件, 实质双条件, material biconditional, 异或非, logical XNOR, 同或

等价(biconditional)是二元逻辑联结词，表示“两个命题具有相同真值”的逻辑关系。也可以说两个命题互相蕴涵。

尽管“equivalence”和“等价”用词看似更加对应。在数理逻辑领域，“equivalence”一般对应等值（命题间的关系），而“biconditional”对应等价（逻辑联结词）。

定义

等价
运算名称	等价
运算符号	[math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
Latex	`\leftrightarrow`
运算对象	命题公式
运算元数	2
运算结果	命题公式

双条件命题
术语名称	双条件命题
英语名称	biconditional proposition

前件
术语名称	前件
英语名称	antecedent
别名	条件, protasis

后件
术语名称	后件
英语名称	consequent
别名	结论, apodosis

对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，记命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 满足：

当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 也为真时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 也为假时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假；
当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为真时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假。

称这样的命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 构成的双条件命题(biconditional proposition)，记为 [math]\displaystyle{ P \leftrightarrow Q }[/math] ，读作[math]\displaystyle{ P }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ([math]\displaystyle{ P }[/math] if and only if [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，常缩写为 [math]\displaystyle{ P }[/math] iff [math]\displaystyle{ Q }[/math]^[1]) 或 [math]\displaystyle{ P }[/math] 等价于 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 。其中逻辑联结词 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] 称为双条件词或等价词， [math]\displaystyle{ P }[/math] 称为双条件命题的前提或前件(antecedent)， [math]\displaystyle{ Q }[/math] 称为双条件命题的结论或后件(consequent)。

等价的其他常见记号有 [math]\displaystyle{ P \equiv Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ P\Leftrightarrow Q }[/math] ^[2]。

主联结词为等价词的公式称为双条件式(biconditional formula)；主联结词为等价词的命题称为双条件命题(biconditional proposition)。

一般情况下，不使用“等价式”和“等价命题”的说法，因为“等价命题”多指两个或多个等值(equivalent)的命题。一般极少会在中文语境中单独表达“使用了等价逻辑联结词的命题”这个概念。

真值表

[math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] 的真值表
[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math]
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

性质

等价表示
- 表达为否定、合取、析取的组合：对任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ， [math]\displaystyle{ P\leftrightarrow Q = (P \land Q) \lor (\lnot P \land \lnot Q) = (P \lor \lnot Q) \land (\lnot P \lor Q) }[/math] 。
- 是互斥析取的否定：对任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ， [math]\displaystyle{ P\leftrightarrow Q = \lnot(P\nleftrightarrow Q) }[/math] 。
- 相当于两方向蕴涵的合取：对任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ， [math]\displaystyle{ P\leftrightarrow Q = (P\rightarrow Q) \land (Q\rightarrow P) }[/math] 。
运算性质
- 结合律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow R = P \leftrightarrow (Q \leftrightarrow R) }[/math] 。
- 交换律：对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \leftrightarrow Q = Q \leftrightarrow P }[/math]。
- 特殊值
  - [math]\displaystyle{ P \leftrightarrow \mathrm{F} = \lnot P }[/math] 。
  - [math]\displaystyle{ P \leftrightarrow \mathrm{T} = P }[/math] 。
- 每个元素都是二阶元、是自身的逆元：对任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] ， [math]\displaystyle{ P\leftrightarrow P=\mathrm{T} }[/math] 。

不同逻辑系统中的等价

以上为经典逻辑中的等价：等价是真值函数的，完全由真值表定义。

直觉主义逻辑中，等价是两侧的蕴涵，而蕴涵与可证明性相关，也就是要求 [math]\displaystyle{ P\leftrightarrow Q }[/math] 为真当且仅当存在 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 之间双向的构造性证明，而不仅仅是符合真值表。
多值逻辑、模糊逻辑中，真值的取值可能性更多，等价可能有更复杂的定义方式，但通常保持“两个命题真值相同”的核心概念。

自然语言中，使用明确动词短语“等价于”、“等同于”，或使用动词“有且仅有”、连词“当且仅当”等表达等价的逻辑关系。自然语言中一般用这些词语表示概念的等同，或形式之间可互相推理出，而不仅仅是联结词中要求的真值相同。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
基本概念	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
	逻辑联结词	蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）

逻辑联结词
零元
真值表			[math]\displaystyle{ \bot }[/math]								[math]\displaystyle{ \top }[/math]
真值表			T								F
名称			真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]								假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]
二进制编号			0								1
编号			0								1
一元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]		[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]				[math]\displaystyle{ p }[/math]				[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T		F								T
	F		F				T				F				T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]				否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]				（恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]）				真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-				NOT				-				-
二进制编号			00				01				10				11
编号			0				1				2				3
二元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ \bot }[/math]	[math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math] [math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math] [math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math] [math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \land q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \lor q }[/math]	[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T	T	F								T
	T	F	F				T				F				T
	F	T	F		T		F		T		F		T		F		T
	F	F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]	或非 [math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math]	-	否定非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	-	否定非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	互斥析取异或 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math]	与非 [math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math]	合取且/与 [math]\displaystyle{ \land }[/math]	等价当且仅当 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math]	蕴涵推出 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math]	-	析取或 [math]\displaystyle{ \lor }[/math]	真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-	NOR	-	NOT	NIMPLY	NOT	XOR	NAND	AND	XNOR EQV	-	IMPLY	-	-	OR	-
二进制编号			0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
编号			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

琐事

名称

在数字电路中，特别是门电路中，有另一个常见的名称，异或非（XNOR），是按照与非、或非的方式命名的，先进行异或再进行非。

另外硬件领域也经常被叫做“同或”，指和“异或”相反的，两个输入相同。但是这个叫法有两个问题：

与“或”和“异或”不同，等价本身和“或”没有任何关系；
确认不到可靠词源，只是确实习惯上很多人都在这么叫。

推测可能是误将“异或”（字面意思应为“相对不太常用的另一种‘或’”）望文生义成“异”并认为“或”没有语义，就给“同”生造了一个词。同时“同”比“等价”更简单、更容易传达含义，就被错误保留了下来。

↑ 缩写 iff 一般仍读作 if and only if [ˈɪf(ə)n̩(d)ˈəʊ̯n.liˌɪf] ，偶尔有读 [ɪfː] 的。 [1] [2]。
↑ [math]\displaystyle{ P \equiv Q }[/math] 与 [math]\displaystyle{ P\Leftrightarrow Q }[/math] 都和重言等价符号有冲突，不建议用。

[1] 缩写 iff 一般仍读作 if and only if [ˈɪf(ə)n̩(d)ˈəʊ̯n.liˌɪf] ，偶尔有读 [ɪfː] 的。 [1] [2]。

[2] [math]\displaystyle{ P \equiv Q }[/math] 与 [math]\displaystyle{ P\Leftrightarrow Q }[/math] 都和重言等价符号有冲突，不建议用。

[1]

[2]