倒数

倒数
术语名称	倒数
英语名称	reciprocal
别名	乘法逆元, multiplicative inverse

一个数的倒数(reciprocal)/乘法逆元(multiplicative inverse)指一个数在乘法下的逆元；两个数互为倒数（互为乘法逆元），或者说两个数是一对互为倒数的数，指两个数在乘法下互为逆元。

由于数的乘法的幺元是数 1，按逆元定义，一对互为倒数的数的积总是 1。

一对互为倒数的数，如果可以取对数，结果必然是一对相反数，关于 0 对称。

定义

倒数
运算名称	倒数
运算符号	[math]\displaystyle{ \frac{1}{\bullet} }[/math],[math]\displaystyle{ ^{-1} }[/math]
Latex	\frac{1}{}, ^{-1}
运算对象	数
运算元数	1
运算结果	数

在某有乘法的集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 中，对元素 [math]\displaystyle{ a }[/math]，若 [math]\displaystyle{ (\exists b \in X) (a b) = e }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ e }[/math] 为集合中的乘法幺元，则称元素 [math]\displaystyle{ b }[/math] 是元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的乘法逆元(multiplicative inverse)，记作 [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] ，并称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和元素 [math]\displaystyle{ b }[/math] 在乘法下互逆；若 [math]\displaystyle{ X }[/math] 是有理数、实数、复数等数系，则称 [math]\displaystyle{ b }[/math] 是数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的倒数(reciprocal)，并称数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 和数 [math]\displaystyle{ b }[/math] 互为倒数。

倒数
函数名称	倒数函数
函数符号	[math]\displaystyle{ \frac{1}{\bullet} }[/math],[math]\displaystyle{ ^{-1} }[/math]
运算参数
运算结果
Latex	\frac{1}{}, ^{-1}
类型	双射
定义域	[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^* }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^* }[/math]

非零实数上将每个数映射到倒数的函数 [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} }[/math] 称为倒数函数(reciprocal function)。

性质

倒数函数的定义域是去 0 的实数集，在定义域上是双射。在定义域的两段上分别严格单调递减。

图像是双曲线，渐近线与两个坐标轴重合。

四则运算
加法 [math]\displaystyle{ + }[/math]	减法 [math]\displaystyle{ - }[/math]	乘法 [math]\displaystyle{ \times }[/math]	除法 [math]\displaystyle{ \div }[/math]