幺元

幺元
术语名称	幺元
英语名称	identity element
别名	identity, two-sided identity, 单位元, 中性元, neutral element

左幺元
术语名称	左幺元
英语名称	left identity element
别名	left identity, 左单位元

右幺元
术语名称	右幺元
英语名称	right identity element
别名	right identity, 右单位元

幺元/单位元(identity element)指某集合中的元素，在集合上的一个二元运算中，任何元素和它运算都保持不变。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 及元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] ：

• 若 [math]\displaystyle{ (\forall a \in X) (e \bullet a = a) }[/math]，则称元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] 为运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 的左幺元/左单位元(left identity element/left identity)；
• 若 [math]\displaystyle{ (\forall a \in X) (a \bullet e = a) }[/math]，则称元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] 为运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 的右幺元/右单位元(right identity element/right identity)；
• 若 [math]\displaystyle{ e }[/math] 既是运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 的左幺元又是运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 的右幺元，则称元素 [math]\displaystyle{ e }[/math] 为运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 的幺元/单位元((two-sided) identity element/identity)。

注：幺元总是用 [math]\displaystyle{ e }[/math] 表示，需要区分集合时也使用 [math]\displaystyle{ e_X }[/math] 。在特定的上下文中偶尔会用 [math]\displaystyle{ 0_X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ 1_X }[/math] ，基本不会使用此外其他符号。

注：如果可交换，则不区分左右。

性质

• 左幺元既可以不存在，也可以存在多个；右幺元也既可以不存在，也可以存在多个。
• 如果一个运算同时存在左右幺元，那么左右幺元必然相等且唯一。也就是说，只要同时有左右幺元，就一定只有一个左幺元，一个右幺元，而且是同一个元素。

封闭二元运算
结合性、交换性（交换元）、分配性（左、右）
零元（左、右）、幺元（左、右）、逆元（左、右）
消去律（左、右）、吸收律、幂等律（幂等元）
反交换性、反分配性