模型

一个理论的模型(model)，指一个总是满足其组成命题的结构。当对一阶语言讨论其中任意可能公式理论的模型时，也说一个语言的模型。

其中，理论提供了一组形式上的语句，而结构提供了一个具体解释、提供了一个论域，在将理论中的这组语句中的个体常项、函项、谓词解释为论域中的个体对象及其关系、性质时，得到的命题总是保证其是真命题；若其中存在开语句，也就是含有自由变项的语句，需要这个结构上的所有赋值都对这个理论有满足关系，也就是进一步将自由变项解释为论域中的任意个体时，这些语句构成的命题也是真命题。

定义

对一阶语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] ，及一组 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math]-语句 [math]\displaystyle{ T }[/math] ，和一个 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math]-结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}=(M,I) }[/math] ，若对任意 [math]\displaystyle{ \phi\in T }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ \phi^{\mathfrak{M}} }[/math] 为真命题，即 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}\vDash\phi }[/math] ，则称 [math]\displaystyle{ T }[/math] 是一个理论(theory)，结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 是理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的一个模型(model)，记作 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}\vDash T }[/math] ，读作 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ T }[/math]([math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] satisfies [math]\displaystyle{ T }[/math])或 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] 是 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型([math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math] models [math]\displaystyle{ T }[/math])。

注意：

模型是相对于理论的模型。同一个结构可以是不同理论的模型，同一个理论也可以有不同的模型。
当不给定额外的语句，或者对一个语言上广泛的、可能会任意取的公式集进行讨论时，也说模型是语言的模型。
理论和模型是两个不同描述角度的交汇位置：理论是形式语言中符合语法的语句集，代表着合法的表示形式及表示形式间的变形推理关系，模型具体提供研究对象，将得到的语句解释为具体命题。

谓词逻辑/一阶逻辑
命题结构	项	个体词（个体常项、个体变项）、论域/个体域、函项、项、闭项
	谓词	谓词（谓词常项、谓词变项）
	量词	量词（辖域、出现）、全称量词 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 、存在量词 [math]\displaystyle{ \exists }[/math]
谓词公式	形式定义	谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math] 、谓词公式、闭式
	逻辑语义	结构、指派/赋值、基本语义定义、解释、满足、模型
	语义分类	普遍有效公式、可满足式、不可满足式
	语义关系	逻辑等值/逻辑等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	前束范式、 Skolem 范式
	个体变项代入	可自由代入、易字、简单易字变形、易字变形
	命题变元代入	置换定理

模型论
研究对象	理论和模型	形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math]		形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math]
	刻画性质	语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性		签名、基数（有限、无穷）
	相互关系	模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ）		理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型
模型间的关系
同构		同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math]
子模型相关		子模型（子结构）、扩张	模型链	同构嵌入
初等子模型相关		初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math]	初等链、初等链的极限	初等嵌入
初等等价		初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math]
相关定理		Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试
相关定理		图引理、初等图引理（常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]）
理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题
刻画		Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性
应用	模型分类	标准模型、非标准模型
应用	定理	（Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试
理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论
模型完备性		理论的模型完备性	理论的子模型完备性	理论的模型完备化