全称量词
| 全称量词 | |
|---|---|
| 术语名称 | 全称量词 |
| 英语名称 | universal quantifier |
全称量词(universal quantifier)是量词的一种，相当于自然语言中的“对所有的……”、“对任意的……”。
定义
| 全称量词 | |
|---|---|
| 对象名称 | 全称量词 |
| 对象记号 | [math]\displaystyle{ \forall }[/math] |
| Latex | \forall
|
| 对象类别 | 量词 |
命题中，表达“对所有（任意）的……都有……”的含义的量词，记作 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] ，称为全称量词(universal quantifier)。
比如，对 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] ，命题“当 [math]\displaystyle{ x }[/math] 取个体域内任何一个值时，所构成的命题都是真命题”，记作 [math]\displaystyle{ \forall x p(x) }[/math] ，读作
- 对所有 [math]\displaystyle{ x }[/math] ， [math]\displaystyle{ p(x) }[/math](for all [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ p(x) }[/math])
- 对任意 [math]\displaystyle{ x }[/math] ， [math]\displaystyle{ p(x) }[/math](for any [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ p(x) }[/math])
| ∀ | |
|---|---|
| 字符 | ∀ |
| Unicode码位 | U+2200 For all, Universal Quantifier
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| Latex命令序列 | \forall
|
这样仅包含全称量词表达式及其辖域的公式称为全称式(universally quantified formula)，命题称为全称命题(universally quantified proposition)。
对一个命题使用全称量词进行量化的操作，称为全称量化(universal quantification)。
全称命题当全部取值下都是真命题时为真命题，当有至少一个取值下不是真命题时为假命题，这样的取值称为反例。 特别地，取值范围是空集时，由于没有反例，全称命题是真命题。
量化域重写
命题“当 [math]\displaystyle{ x }[/math] 取 [math]\displaystyle{ A }[/math] 中的任意一个值时，所构成的命题 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] 都是真命题”，可记作 [math]\displaystyle{ \forall x \in A, p(x) }[/math] 。
这样形式上含有量化域的全称式，总是可被重写为形式上不含量化域的全称式 [math]\displaystyle{ \forall x (x\in A \rightarrow p(x)) }[/math] 。