解释（谓词逻辑）

解释
术语名称	解释
英语名称	interpretation

模型
术语名称	模型
英语名称	model
别名	解释, interpretation

解释(interpretation)是对谓词公式的非逻辑符号取值。 即对一个抽象的谓词公式，为其指定论域，并使其中所有个体常项、函项、谓词指向论域上的具体个体对象及其关系、性质。

与命题逻辑的解释不同，谓词公式中仅有闭式被解释后会变成命题。

解释过程中使用的论域及替换用的映射关系，加在一起也叫解释、结构(structure)或模型(model)。

定义

定义1

对谓词公式 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，其解释(interpretation) [math]\displaystyle{ \mathfrak{I} }[/math] ，包括：

• [math]\displaystyle{ D }[/math] 是非空集合，即论域(domain of discourse)或个体域(individual domain)；
• 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 中的元素；
• 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元函项 [math]\displaystyle{ f }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元映射；
• 将 [math]\displaystyle{ G }[/math] 中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元谓词 [math]\displaystyle{ P }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系。

定义2（Tarski 语义学）

将谓词公式建模为 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math]-语言，其中有序对 [math]\displaystyle{ \mathfrak{I} = (D, I) }[/math] 被称为一个 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] -模型，也称为 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] -解释 ，其中：

[math]\displaystyle{ D }[/math] 是非空集合，即论域(domain of discourse)或个体域(individual domain)；

[math]\displaystyle{ I }[/math] 是一个映射，且

• 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] -语言中的每一个个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 中的元素 [math]\displaystyle{ I(c) }[/math]；
• 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] -语言中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元函项 [math]\displaystyle{ f }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元映射 [math]\displaystyle{ I(f) }[/math]；
• 将 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_1 }[/math] -语言中的每一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元谓词 [math]\displaystyle{ P }[/math] 映射到论域 [math]\displaystyle{ D }[/math] 上的 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系 [math]\displaystyle{ I(P) }[/math]。

通常简称为模型(model)或解释(interpretation)。

注：两个定义对同一个谓词公式可视为等价，区别在于解释时只为给定公式进行映射还是对整个语言进行映射。其中对语言整体进行映射的特别称为模型。

记号

解释 [math]\displaystyle{ \mathfrak{I} }[/math] 下的 [math]\displaystyle{ c, f, P }[/math] 的像通常记作 [math]\displaystyle{ c^\mathfrak{I}, f^\mathfrak{I}, P^\mathfrak{I} }[/math] 。

注意

模型也可以看作某个论域及其上的多元函数及谓词，也就是说代数系统的结构，因此也被称为一个结构(structure)。

谓词逻辑/一阶逻辑
命题结构	项	个体词（个体常项、个体变项）、论域/个体域、函项、项、闭项
	谓词	谓词（谓词常项、谓词变项）
	量词	量词（辖域、出现）、全称量词 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 、存在量词 [math]\displaystyle{ \exists }[/math]
谓词公式	形式定义	谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math] 、谓词公式、闭式
	逻辑语义	结构、指派/赋值、基本语义定义、解释、满足、模型
	语义分类	普遍有效公式、可满足式、不可满足式
	语义关系	逻辑等值/逻辑等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	前束范式、 Skolem 范式
	个体变项代入	可自由代入、易字、简单易字变形、易字变形
	命题变元代入	置换定理