加法（序数）
| 加法 | |
|---|---|
| 术语名称 | 加法 |
| 英语名称 | addition |
| 和 | |
|---|---|
| 术语名称 | 和 |
| 英语名称 | sum |
两个良序前后“串联”，即保持每个良序集内部结构，并定义后一良序集中任意元素大于前一良序集中任意元素，结果仍是良序，这一运算称为良序的加法(addition)。序数的加法(addition)指对两个序数，连接这两个序数的良序集得到的新良序集的序数。
定义
序意义
对序数为 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 的两个良序集 [math]\displaystyle{ (S, \leq_S), (T, \leq_T) }[/math] ，有笛卡尔积 [math]\displaystyle{ S\times\{0\}\cup T\times\{1\} }[/math] 上的反向字典序，即 [math]\displaystyle{ (x,i) \leq (y,j) \leftrightarrow i\lt j \lor (i=j \land x\leq y) }[/math] 也是一个良序，称为良序 [math]\displaystyle{ \leq_S,\leq_T }[/math] 的和(sum)，其序型称为序型 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 的和(sum)，记作 [math]\displaystyle{ \alpha+\beta }[/math] 。这一运算称为序型的加法(addition)。
等价定义
对序数为 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 的两个良序集 [math]\displaystyle{ (S, \leq_S), (T, \leq_T) }[/math] ，有不交并 [math]\displaystyle{ S\sqcup T }[/math] 上的良序 [math]\displaystyle{ x \leq y }[/math] ， [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] 当且仅当满足以下条件之一：
- [math]\displaystyle{ x\in S \land y\in S \land x\leq_S y }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ x\in T \land y\in T \land x\leq_T y }[/math] ；
- [math]\displaystyle{ x\in S \land y\in T }[/math] 。
则 [math]\displaystyle{ (S\sqcup T, \leq) }[/math] 也是一个良序集，良序 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] 称为良序 [math]\displaystyle{ \leq_S,\leq_T }[/math] 的和(sum)，其序型称为序型 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] 的和(sum)，记作 [math]\displaystyle{ \alpha+\beta }[/math] 。这一运算称为序型的加法(addition)。
注：可以直观地进行几何解释：将两个良序集按顺序放置，并将 [math]\displaystyle{ T }[/math] 中元素按顺序接在 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中全体元素之后。
公理化定义
对序数 [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] ，通过对 [math]\displaystyle{ \beta }[/math] 的超限递推定义加法：
- [math]\displaystyle{ \alpha+0 = \alpha }[/math] ；
- 对后继序数 [math]\displaystyle{ S(\beta) }[/math] ， [math]\displaystyle{ \alpha+S(\beta) = S(\alpha+\beta) }[/math] ；
- 对极限序数 [math]\displaystyle{ \beta=\sup_{\delta\lt \beta} {\delta} }[/math] ， [math]\displaystyle{ \alpha+\beta = \sup_{\delta\lt \beta}(\alpha+\delta) }[/math] 。
性质
- 幺半群
- 不满足交换律。
- 举例： [math]\displaystyle{ \omega+2 }[/math] 表示 [math]\displaystyle{ 0\lt 1\lt 2\lt \cdots\lt 0'\lt 1' }[/math] ， [math]\displaystyle{ 2+\omega }[/math] 表示 [math]\displaystyle{ 0'\lt 1'\lt 0\lt 1\lt 2\lt \cdots }[/math] ，这两个不是同样的序，后者和自然数集上的序结构相同。
- 满足结合律。 [math]\displaystyle{ (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma) }[/math] 。
- 有幺元。 [math]\displaystyle{ 0+\alpha = \alpha+0 = \alpha }[/math] 。
- 不满足交换律。
- 满足左消去律。 [math]\displaystyle{ \alpha+\beta = \alpha+\gamma \rightarrow \beta=\gamma }[/math] 。
- 对右操作数严格单调递增： [math]\displaystyle{ \beta\lt \gamma \rightarrow \alpha+\beta\lt \alpha+\gamma }[/math] 。
- 对左操作数非严格单调递增： [math]\displaystyle{ \beta\lt \gamma \rightarrow \beta+\alpha\leq\gamma+\alpha }[/math] 。
- 向小序数后加更大的极限序数时，有时表现为吸收律。
- 条件是在 [math]\displaystyle{ \alpha+\beta = \sup_{\delta\lt \beta}(\alpha+\delta) }[/math] 中 [math]\displaystyle{ \alpha+\delta }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \delta }[/math] 本身组成的集合可能有相同上界。
- 比如 [math]\displaystyle{ 1+\omega=\omega }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ 1+n,n\in\mathbb{N} }[/math] 本身和 [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] 只差头部一个元素 0 ，其他元素对应相同。类似地， [math]\displaystyle{ \omega+\omega^2=\omega\cdot(1+\omega)=\omega^2 }[/math] 。但 [math]\displaystyle{ \omega+\omega\cdot 2=\omega\cdot 3 }[/math] 不会有这种情况。