Чебышёв 第二函数

切比雪夫第二函数
术语名称	切比雪夫第二函数
英语名称	second Chebyshev function
别名	second Tchebycheff function

切比雪夫第二函数(second Chebyshev function)是关于所有不超过某整数的质数最高次幂之积的自然对数的数论函数。

定义

Чебышёв 第二函数
函数名称	Чебышёв 第二函数
函数符号	[math]\displaystyle{ \psi() }[/math]
运算参数
运算结果
Latex	\psi
类型	数论函数
定义域	[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]

记函数 [math]\displaystyle{ \psi(n) = \sum_{p^k \leq n} \ln p = \sum_{i = 1}^n \Lambda(i) }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \sum_{p^k \leq n} }[/math] 表示对不超过 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的全体质数 [math]\displaystyle{ p^k }[/math] 求和， [math]\displaystyle{ \Lambda(n) }[/math] 为 Mangoldt 函数，称为切比雪夫第二函数(second Chebyshev function)，记作 [math]\displaystyle{ \psi(n) }[/math] 。

性质

与 Чебышёв 第一函数 [math]\displaystyle{ \vartheta(n) }[/math] 的关系： [math]\displaystyle{ \psi(x) = \sum_{n_1}^\infty \vartheta(x^{\frac{1}{n}}) }[/math] 。

数论函数
分类	加性函数	完全加性函数
	乘性函数	完全乘性函数
性质	Möbius 反演（Möbius 变换、 Möbius 逆变换）
	Dirichlet 卷积
常见数论函数
除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_k(n) }[/math]	除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_0(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ d(n) }[/math]	除数和函数 [math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]
Euler 函数	Euler 函数 [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math]	Carmichael 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
二次剩余相关符号	Legendre 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{p}) }[/math]	Jacobi 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{d}) }[/math]
乘法阶数与指标	乘法阶数 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_{m} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \delta_{m}(n) }[/math]	指标 [math]\displaystyle{ \operatorname{ind}_{g} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \gamma_{m,g}(n) }[/math]
其他	相异质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \omega(n) }[/math]	质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \Omega(n) }[/math]、Liouville 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
	质数计数函数 [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math]	Чебышёв 第一函数 [math]\displaystyle{ \theta(n) }[/math]、第二函数 [math]\displaystyle{ \psi(n) }[/math]、Mangoldt 函数 [math]\displaystyle{ \Lambda(n) }[/math]
	Möbius 函数 [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math]
	Dirichlet 特征 [math]\displaystyle{ \chi(n;m) }[/math]