Liouville 函数
| 刘维尔函数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 刘维尔函数 |
| 英语名称 | Liouville lambda function |
刘维尔函数(Liouville lambda function)指正整数质因子数目奇偶性的数论函数。
定义
| Liouville 函数 | |
|---|---|
| 函数名称 | 刘维尔函数 |
| 函数符号 | [math]\displaystyle{ \lambda() }[/math] |
| Latex | \lambda
|
| 类型 | 完全乘性函数 |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{N}^* }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ \{\pm 1\} }[/math] |
对正整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，其标准质因数分解为 [math]\displaystyle{ n = p_1^{n_1} p_2^{n_2} \dots p_m^{n_m} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ p_i }[/math] 是两两不同的质数，则定义质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \Omega(n) }[/math] 将每个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 映射到对应的全部质因子重数之和 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^m n_i = n_1 + n_2 + \cdots + n_m }[/math] ，并定义函数 [math]\displaystyle{ (-1)^{\Omega(n)} }[/math] 称为刘维尔函数，记作 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math] 。
性质
[math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math] 是完全乘性函数，因为 [math]\displaystyle{ \Omega(n) }[/math] 是完全加性函数。
对正整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \sum_{d\mid n} \lambda(d) = \begin{cases}1 &, \exists r (n = r^2) \\ 0 &, \lnot\exists r (n = r^2) \end{cases} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \sum_{d\mid n} }[/math] 为对所有因子求和。