除数函数
| 除数函数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 除数函数 |
| 英语名称 | divisor function |
| 除数函数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 除数函数 |
| 英语名称 | number-of-divisor function |
| 别名 | τ函数, tau function |
除数函数(divisor function)指和正整数的正因数（除数）相关的数论函数。
除数函数(the divisor function/number-of-divisor function)也特指正整数到其正因数计数的数论函数。
定义
对正整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，定义正整数集上的函数 [math]\displaystyle{ \sigma_k }[/math] 为：
[math]\displaystyle{ \sigma_k(n) = \sum_{d\mid n} d^k }[/math]
其中 [math]\displaystyle{ k }[/math] 为给定实数或复数， [math]\displaystyle{ \sum_{d\mid n} }[/math] 表示对 [math]\displaystyle{ n }[/math] 所有的正因数 [math]\displaystyle{ d }[/math] 求和。将这样形式的函数统称为除数函数(divisor function)。
| 除数函数 | |
|---|---|
| 函数名称 | 除数函数 |
| 函数符号 | [math]\displaystyle{ \sigma_0() }[/math],[math]\displaystyle{ \tau() }[/math],[math]\displaystyle{ d() }[/math] |
| Latex | \sigma_0 , \tau , d
|
| 类型 | 乘性函数 |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{N}^* }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{N}^* }[/math] |
其中 [math]\displaystyle{ k=0 }[/math] 的函数 [math]\displaystyle{ \sigma_0(n) = \sum_{d\mid n} 1 }[/math] 将整数映射到其所有正因数的个数，称为（特指的）除数函数(the divisor function / number-of-divisor function) ，也记作 [math]\displaystyle{ d(n) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math] ，并称为τ函数(tau function)。
同时， [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] 的情况也记作 [math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math] ，见除数和函数。
性质
除数函数总是乘性函数，也就是说 [math]\displaystyle{ \operatorname{gcd}(a,b)=1 \rightarrow \sigma_z(ab) = \sigma_z(a) \sigma_z(b) }[/math] 。
形式上，除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_z }[/math] 是 [math]\displaystyle{ n^z }[/math] 的 Möbius 变换。τ函数 [math]\displaystyle{ \tau }[/math] 是 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 的 Möbius 变换。
琐事
符号来源
函数符号 [math]\displaystyle{ d(n) }[/math] 的 d 指 divisor ，而 [math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math] 的 τ 是对应意义的德语 Teiler 。
数列序号
除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_0(n) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math] 的数列见A000005。
除数和函数 [math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math] 的数列见A000203。