质因子个数函数

Ω函数
术语名称	Ω函数
英语名称	prime omega function (big)
别名	质因子个数函数, 素因子个数函数

Ω函数/质因子个数函数指正整数质因子数目的数论函数。与相异质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \omega(n) }[/math] 合称 prime omega function 。

本条目没有一致可信的中文译名。

定义

质因子个数函数
函数名称	质因子计数函数
函数符号	[math]\displaystyle{ \Omega() }[/math]
Latex	\Omega
类型	完全加性函数
定义域	[math]\displaystyle{ \mathbb{N}^* }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]

对正整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，其标准质因数分解为 [math]\displaystyle{ n = p_1^{n_1} p_2^{n_2} \dots p_m^{n_m} }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ p_i }[/math] 是两两不同的质数，则定义函数将每个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 映射到对应的全部质因子重数之和 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^m n_i = n_1 + n_2 + \cdots + n_m }[/math] ，称为Ω函数(prime omega function)，记作 [math]\displaystyle{ \Omega(n) }[/math] 。

注：也可以被定义为 [math]\displaystyle{ \Omega(n) = \sum_{p^k \mid n} 1 = \sum_{p^k \| n} k }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \sum_{p^k \mid n} }[/math] 代表对全体整除 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的质数幂求和，而 [math]\displaystyle{ \sum_{p^k \| n} }[/math] 代表对全体恰整除 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的质数幂求和。

性质

Ω函数是完全加性函数。

数论函数
分类	加性函数	完全加性函数
	乘性函数	完全乘性函数
性质	Möbius 反演（Möbius 变换、 Möbius 逆变换）
	Dirichlet 卷积
常见数论函数
除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_k(n) }[/math]	除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_0(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ d(n) }[/math]	除数和函数 [math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]
Euler 函数	Euler 函数 [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math]	Carmichael 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
二次剩余相关符号	Legendre 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{p}) }[/math]	Jacobi 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{d}) }[/math]
乘法阶数与指标	乘法阶数 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_{m} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \delta_{m}(n) }[/math]	指标 [math]\displaystyle{ \operatorname{ind}_{g} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \gamma_{m,g}(n) }[/math]
其他	相异质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \omega(n) }[/math]	质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \Omega(n) }[/math]、Liouville 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
	质数计数函数 [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math]	Чебышёв 第一函数 [math]\displaystyle{ \theta(n) }[/math]、第二函数 [math]\displaystyle{ \psi(n) }[/math]、Mangoldt 函数 [math]\displaystyle{ \Lambda(n) }[/math]
	Möbius 函数 [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math]
	Dirichlet 特征 [math]\displaystyle{ \chi(n;m) }[/math]

琐事

数列编号

Ω函数：A001222