Чебышёв 第一函数

切比雪夫第一函数
术语名称	切比雪夫第一函数
英语名称	first Chebyshev function
别名	first Tchebycheff function

切比雪夫第一函数(first Chebyshev function)是关于所有不超过某整数的质数之积（质数阶乘）的自然对数的数论函数。

定义

Чебышёв 第一函数
函数名称	Чебышёв 第一函数
函数符号	[math]\displaystyle{ \vartheta() }[/math],[math]\displaystyle{ \theta }[/math]
运算参数
运算结果
Latex	\vartheta, \theta
类型	数论函数
定义域	[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]

记函数 [math]\displaystyle{ \vartheta(n) = \sum_{p \leq n} \ln p }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \sum_{p \leq n} }[/math] 表示对不超过 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的全体质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 求和，称为切比雪夫第一函数(first Chebyshev function)，记作 [math]\displaystyle{ \vartheta(n) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 。

性质

Чебышёв 第一函数对应着质数阶乘直接取自然对数。

与 Чебышёв 第二函数 [math]\displaystyle{ \psi(n) }[/math] 的关系： [math]\displaystyle{ \psi(x) = \sum_{n_1}^\infty \vartheta(x^{\frac{1}{n}}) }[/math] 。

数论函数
分类	加性函数	完全加性函数
	乘性函数	完全乘性函数
性质	Möbius 反演（Möbius 变换、 Möbius 逆变换）
	Dirichlet 卷积
常见数论函数
除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_k(n) }[/math]	除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_0(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ d(n) }[/math]	除数和函数 [math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]
Euler 函数	Euler 函数 [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math]	Carmichael 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
二次剩余相关符号	Legendre 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{p}) }[/math]	Jacobi 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{d}) }[/math]
乘法阶数与指标	乘法阶数 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_{m} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \delta_{m}(n) }[/math]	指标 [math]\displaystyle{ \operatorname{ind}_{g} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \gamma_{m,g}(n) }[/math]
其他	相异质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \omega(n) }[/math]	质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \Omega(n) }[/math]、Liouville 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
	质数计数函数 [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math]	Чебышёв 第一函数 [math]\displaystyle{ \theta(n) }[/math]、第二函数 [math]\displaystyle{ \psi(n) }[/math]、Mangoldt 函数 [math]\displaystyle{ \Lambda(n) }[/math]
	Möbius 函数 [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math]
	Dirichlet 特征 [math]\displaystyle{ \chi(n;m) }[/math]