可交换元

可交换元
术语名称	可交换元
英语名称	commuting elements

可交换元(commuting elements)指某集合中的两个元素，在集合上的一个二元运算中，运算结果和顺序无关。

若全部元素对都可交换，称为运算满足交换律。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 及元素 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ a \bullet b = b \bullet a }[/math]，则称元素 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] 为运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 的一对可交换元(idempotent element)，或元素 [math]\displaystyle{ a, b }[/math] 在运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 下可交换(commute/are commuting (with each other) under [math]\displaystyle{ \bullet }[/math])。同时也称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是与元素 [math]\displaystyle{ b }[/math] 可交换的元素 ([math]\displaystyle{ a }[/math] commutes/is commuting with [math]\displaystyle{ b }[/math] under [math]\displaystyle{ \bullet }[/math])。

性质

• 由于 [math]\displaystyle{ a \bullet a = a\bullet a }[/math] ，任意元素与其自身总是可交换的。
• 幺元和零元的定义中都要求该元素与任意元素可交换，一对互逆元素也是可交换的。
• 满足交换律的二元运算中任意两个元素都是可交换的。

在运算满足结合律的情况下，会有更多良好的性质，但是不满足时很多性质无法成立。

封闭二元运算
结合律、交换律（交换元）、分配律（左、右）
零元（左、右）、幺元（左、右）、逆元（左、右）
消去律（左、右）、吸收律、幂等律（幂等元）
反交换律、反分配律