空映射

空映射
术语名称	空映射
英语名称	empty map
别名	空函数, empty function, empty mapping

空映射(empty map)指对每个集合，从空集到这个集合的唯一的映射。

定义

空映射
对象名称	空映射
对象记号
Latex
对象类别	映射

对集合 [math]\displaystyle{ Y }[/math] ，映射 [math]\displaystyle{ e: \varnothing \to Y }[/math] 是唯一的，称为到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的空映射(empty map)或空函数(empty function)。

注意：部分说法中，映射不接受定义域或陪域出现空集的情况，在这种体系下不接受空映射的存在。接受空映射可以解决多个映射之间的运算需要对定义域求交集的情况，可以避免对定义域是否相交的讨论。

性质

空映射的定义域是空集。

空映射总是单射。

空映射的值域是空集。若 [math]\displaystyle{ Y = \varnothing }[/math] ，此时 [math]\displaystyle{ f: \varnothing \to \varnothing }[/math] 是满射。

以空集为陪域的映射只能是空映射，其定义域也是空集。

映射
定义属性	定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math] 、陪域、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]
特殊映射	空映射、常值映射、恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\bullet }[/math] 、包含映射 [math]\displaystyle{ \iota }[/math]
类型	单射、满射、双射
运算	复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math] 、迭代 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math] 、逆映射（反函数） [math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math] 、限制、延拓