常值映射
| 常值映射 | |
|---|---|
| 术语名称 | 常值映射 |
| 英语名称 | constant map |
| 别名 | 常函数, 常数函数, constant function |
常值映射(constant map)指一个映射把所有元素都映射到同一元素。 也指从一个集合到单元素集的唯一的映射。
本文是集合论视角的常值映射，函数视角下作为初等函数的常数函数见常数函数（函数）。
定义
通常定义
对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Y }[/math] ，以及常值 [math]\displaystyle{ c \in Y }[/math] ，映射 [math]\displaystyle{ f: X \to Y ; x \mapsto c }[/math] 是唯一的，称为常值映射(constant map)或常数函数(constant function)。
特别地，若映射的陪域为单元素集 [math]\displaystyle{ \{c\} }[/math] ，则映射为常值映射。对任意 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \{c\} }[/math] ，映射[math]\displaystyle{ f: X \to \{c\} ; x \mapsto c }[/math] 是唯一的。
定义2
常值函数的另一种相对少见的定义是：
对 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的映射 [math]\displaystyle{ f: X \to Y }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \forall x_1 \in X \forall x_2 \in X (f(x_1) =f(x_2)) }[/math]，称为常值映射。
性质
根据定义不同，在通常定义下，定义域为空集且陪域非空集的空映射也是常值映射。在定义2下，所有空映射都是常值映射。[1]
若定义域有超过1个元素，常值映射就不是单射。换句话说，定义域为空集或单元素集的常值映射是单射。
非空的常值映射的值域为[math]\displaystyle{ \{c\} }[/math]。因此陪域是单元素集的情况下，常值映射是一个满射。