常值映射

常值映射
术语名称	常值映射
英语名称	constant map
别名	常函数, 常数函数, constant function

常值映射(constant map)指一个映射把所有元素都映射到同一元素。 也指从一个集合到单元素集的唯一的映射。

本文是集合论视角的常值映射，函数视角下作为初等函数的常数函数见常数函数（函数）。

定义

通常定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Y }[/math] ，以及常值 [math]\displaystyle{ c \in Y }[/math] ，映射 [math]\displaystyle{ f: X \to Y ; x \mapsto c }[/math] 是唯一的，称为常值映射(constant map)或常数函数(constant function)。

特别地，若映射的陪域为单元素集 [math]\displaystyle{ \{c\} }[/math] ，则映射为常值映射。对任意 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \{c\} }[/math] ，映射 [math]\displaystyle{ f: X \to \{c\} ; x \mapsto c }[/math] 是唯一的。

定义2

常值函数的另一种相对少见的定义是：

对 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的映射 [math]\displaystyle{ f: X \to Y }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \forall x_1 \in X \forall x_2 \in X (f(x_1) =f(x_2)) }[/math] ，称为常值映射。

性质

根据定义不同，在通常定义下，定义域为空集的空映射仅在陪域非空集时是常值映射，而到空集的空映射不符合定义。在定义2下，所有空映射都是常值映射。

若定义域有超过1个元素，常值映射就不是单射。换句话说，定义域为空集或单元素集的常值映射是单射。

非空的常值映射的值域为 [math]\displaystyle{ \{c\} }[/math] 。因此陪域是单元素集的情况下，常值映射是一个满射。

映射
定义属性	定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math] 、陪域、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]
特殊映射	空映射、常值映射、恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\bullet }[/math] 、包含映射 [math]\displaystyle{ \iota }[/math]
类型	单射、满射、双射
运算	复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math] 、迭代 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math] 、逆映射（反函数） [math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math] 、限制、延拓