Peano 公理
| 皮亚诺公理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 皮亚诺公理 |
| 英语名称 | Peano axioms |
| 别名 | 皮亚诺公设, Peano postulates |
皮亚诺公理(Peano axioms)指对自然数公理化的一个形式化公理系统。 是一个一阶理论。这一系统中，自然数由起始元、后继运算及其他几条公理或公理模式定义。
后来提出一个现在一般使用一阶逻辑的形式。算上加法公理和乘法公理，也称为一阶皮亚诺算术。
公理
皮亚诺公理
对集合个体常项 [math]\displaystyle{ N }[/math] 、元素个体常项 [math]\displaystyle{ \mathbf{0} }[/math] 及元素之间的一元函项（运算） [math]\displaystyle{ S }[/math] ：
- 起始元： [math]\displaystyle{ \mathbf{0} \in N }[/math]
- 自然数的后继也是自然数： [math]\displaystyle{ (\forall n\in N): \exists S(n)\in N }[/math]
- 后继是单射： [math]\displaystyle{ (\forall x, y \in N): S(x)=S(y) \rightarrow x=y }[/math]
- 起始元不是后继： [math]\displaystyle{ (\forall n\in N): S(n) \neq \mathbf{0} }[/math]
- 归纳公理： [math]\displaystyle{ (\forall A\subseteq N) (\mathbf{0} \in A \land ((\forall n \in A)(S(n)\in A)) \rightarrow A=N) }[/math]
则对这样的三元组 [math]\displaystyle{ \langle N, \mathbf{0}, S \rangle }[/math] 的一个模型为一个戴德金-皮亚诺结构，则这一模型与自然数集合结构相同。
注：归纳公理也表示为归纳公理模式： [math]\displaystyle{ \phi(\mathbf{0}/x) \land \forall x (\phi(x/x) \rightarrow \phi(S(x)/x)) \rightarrow \forall x \phi }[/math]
注：归纳公理即数学归纳法，也可等价替换为第二数学归纳法或自然数良序原理。
加法公理
在以上公理系统的基础上，对二元函项（运算） [math]\displaystyle{ \mathring{+}: N \times N \to N }[/math] ，并简记 [math]\displaystyle{ \mathring{+}(a, b) }[/math] 为 [math]\displaystyle{ a + b }[/math] ：
- [math]\displaystyle{ (\forall n \in N) (n + \mathbf{0} = n) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\forall m \in N)(\forall n \in N) (m + S(n) = S(m + n)) }[/math]
则这一运算的模型与自然数集合上的加法结构相同。
乘法公理
在以上公理系统及加法公理的基础上，对二元函项（运算） [math]\displaystyle{ \mathring{\times}: N \times N \to N }[/math] ，并简记 [math]\displaystyle{ \mathring{\times}(a, b) }[/math] 为 [math]\displaystyle{ a \times b }[/math] ：
- [math]\displaystyle{ (\forall n \in N) (n \times \mathbf{0} = \mathbf{0}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\forall m \in N)(\forall n \in N) (m \times S(n) = m \times n + m) }[/math]
则这一运算的模型与自然数集合上的乘法结构相同。
可证明这个运算有交换性、结合性、对自然数加法的分配性，且无零因子、可消去。
一阶皮亚诺算术
在皮亚诺公理基础上进行演绎的公理系统，其中的公理包括皮亚诺公理的第 3～5 条，以及加法公理 2 条、乘法公理 2 条，共计 7 条公理或公理模式。
序公理
定义一个自然数为正的，当且仅当它不是 [math]\displaystyle{ \mathbf{0} }[/math] 。记对应的集合为 [math]\displaystyle{ P = N \setminus \{\mathbf{0}\} }[/math] 。
在以上公理系统及加法公理的基础上，定义二元关系 [math]\displaystyle{ \lt \subseteq N \times N }[/math] 满足：
- (a < b) \leftrightarrow (\forall a, b \in N) (\exists x \in P) (a + x = b)
则这一关系的模型与自然数集合上的小于结构相同。
模型
作为一个一阶理论，皮亚诺公理也有着无穷多的模型。
模型需要关于以上公理系统中含有集合个体常项 [math]\displaystyle{ N }[/math] 、元素个体常项 [math]\displaystyle{ \mathbf{0} }[/math] 、一元函项 [math]\displaystyle{ S }[/math] 及二元函项 [math]\displaystyle{ \mathring{+} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \mathring{\times} }[/math] 进行解释。
- 自然数集 [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] 、数零 [math]\displaystyle{ 0 }[/math] 、后继运算 [math]\displaystyle{ S }[/math] 、自然数上的加法 [math]\displaystyle{ + }[/math] 、自然数上的乘法 [math]\displaystyle{ \times }[/math] 。
- 与上述同构的模型称为标准算术模型(standard model of arithmetic)或标准算术结构(standard structure of arithmetic)。
- 集合 [math]\displaystyle{ \{{\color{red} \varnothing}, {\color{orange} \{\varnothing\}}, {\color{gold} \{\{\varnothing\}\}}, \dots\} }[/math] ，空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] ，运算 [math]\displaystyle{ S: A \mapsto \{A\} }[/math] ，用后继运算的重复作用定义的加法，用加法的重复作用定义的乘法。称为策梅洛序数(Zermelo ordinals)。
- 集合 [math]\displaystyle{ \{{\color{red} \varnothing}, {\color{orange} \{\varnothing\}}, {\color{gold} \{\varnothing,\{\varnothing\}\}}, \dots\} }[/math] ，空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] ，运算 [math]\displaystyle{ S: A \mapsto A \cup \{A\} }[/math] ，用后继运算的重复作用定义的加法，用加法的重复作用定义的乘法。在此定义下，序定义为包含关系，自然数 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\lambda} }[/math] 对应的序数被解释为所有更小序数的良序集，即区间集合 [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\lambda} = [\mathbf{0}, \boldsymbol{\lambda}) }[/math] 。称为冯诺依曼序数(von Neumann ordinals)。
- 与自然数集不同构的模型称为非标准算术模型(non-standard model of arithmetic)或非标准算术结构(non-standard structure of arithmetic)
琐事
历史版本
皮亚诺公理最早提出时，使用二阶逻辑，有4条刻画相等的公理，且以1作为起始元素。 后来皮亚诺进行修改，得到了沿用至今天的版本。